Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，4），與直線y=﹣x+1相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（﹣3，0）．點(diǎn)M是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作MP丄x軸，垂足為點(diǎn)P，交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)m為何值時(shí)，線段MN取最大值？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣4x+1；（2）當(dāng)m=﹣時(shí)，MN有最大值是．

【解析】

試題分析：（1）首先求得A和B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；

（2）當(dāng)x=m是，M和N的縱坐標(biāo)即可利用m表示出來(lái)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得MN的最大值．

解：（1）在y=﹣x+1中，令x=0，解得y=1，則A的坐標(biāo)是（0，1）．

在y=﹣x+1中，令x=﹣3，則y=3+1=4，則B的坐標(biāo)是（﹣3，4）．

根據(jù)題意得：，

解得：．

則拋物線的解析式是y=﹣x2﹣4x+1；

（2）當(dāng)x=m是，M的縱坐標(biāo)是﹣m2﹣4m+1，N的縱坐標(biāo)是﹣m+1，

則MN=（﹣m2﹣4m+1）﹣（﹣m+1）=﹣m2﹣3m=﹣（m2+3m）=﹣（m+）2+．

則當(dāng)m=﹣時(shí)，MN有最大值是．