Question

（2011•盤(pán)錦）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，∠DAB=60°．將菱形ABCD繞著A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG，設(shè)∠EAB=α，且0°＜α＜90°，連接DG、BE、CE、CF．
（1）如圖（1），求證：△AGD≌△AEB；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，在圖（2）中畫(huà)出圖形并求出線(xiàn)段CF的長(zhǎng)；
（3）若∠CEF=90°，在圖（3）中畫(huà)出圖形并求出△CEF的面積．

Answer 1

分析：（1）利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB（SAS）證明△AGD≌△AEB即可；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，AE與AD重合，作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，繼而求出CF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于M，連接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的長(zhǎng)，又EC=MC-ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）∵菱形ABCD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG，
∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴AD=AB．
∴AG=AE．
∴△AGD≌△AEB．（3分）

（2）解法一：如圖（1），當(dāng)α=60°時(shí)，AE與AD重合，（4分）

作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5．
∴∠CDH=

1

2

∠CDF=60°，CH=

1

2

CF．
在Rt△CDH中，
∵CH=DCsin60°=5×

3

2

=

5 3

2

，（6分）
∴CF=2CH=5

3

．（7分）
解法二：如圖（1），當(dāng)α=60°時(shí)，AE與AD重合，（4分）
連接AF、AC、BD、AC與BD交于點(diǎn)O．
由題意，知AF=AC，∠FAC=60°．
∴△AFC是等邊三角形．
∴FC=AC．
由已知，∠DAO=

1

2

∠BAD=30°，AC⊥BD，
∴AO=ADcos30°=

5 3

2

．（6分）
∴AC=2AO=5

3

．
∴FC=AC=5

3

．（7分）

（3）如圖（2），當(dāng)∠CEF=90°時(shí)，（8分）
延長(zhǎng)CE交AG于M，連接AC．
∵四邊形AEFG是菱形，
∴EF∥AG．
∵∠CEF=90°，
∴∠GME=90°．
∴∠AME=90°．（9分）
在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，
∴AM=AEcos60°=

5

2

，EM=AEsin60°=

5 3

2

．
在Rt△AMC中，易求AC=5

3

，
∴MC=

AC2-AM2

=

5 11

2

．
∴EC=MC-ME=

5 11

2

-

5 3

2

，
=

5

2

（

11

-

3

）．（11分）
∴S_△CEF=

1

2

•EC•EF=

25( 11 - 3 )

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查菱形的性質(zhì)，同時(shí)涉及了銳角三角函數(shù)的定義、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形面積公式，注意這些知識(shí)的熟練掌握并靈活運(yùn)用，難度較大．