如圖1,點A是直線y=kx(k>0,且k為常數(shù))上一動點,以A為頂點的拋物線y=(x-h)2+m交直線y=kx于另一點E,交y軸于點F,拋物線的對稱軸交x軸于點B,交直線EF于點C.(點A,E,F(xiàn)兩兩不重合)
(1)請寫出h與m之間的關(guān)系;(用含的k式子表示)
(2)當點A運動到使EF與x軸平行時(如圖2),求線段AC與OF的比值;
(3)當點A運動到使點F的位置最低時(如圖3),求線段AC與OF的比值.
(1)∵拋物線頂點(h,m)在直線y=kx上,
∴m=kh;

(2)方法一:解方程組
y=(x-h)2+kh(1)
y=kx(2)
,
將(2)代入(1)得到:(x-h)2+kh=kx,
整理得:(x-h)[(x-h)-k]=0,
解得:x1=h,x2=k+h,
代入到方程(2)y1=hy2=k2+hk,
所以點E坐標是(k+h,k2+hk),
當x=0時,y=(x-h)2+m=h2+kh,
∴點F坐標是(0,h2+kh),
當EF和x軸平行時,點E,F(xiàn)的縱坐標相等,
即k2+kh=h2+kh,
解得:h=k(h=-k舍去,否則E,F(xiàn),O重合),
此時點E(2k,2k2),F(xiàn)(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2),
∴AC:OF=k2:2k2=1:2.(3分)
方法二:當x=0時,y=(x-h)2+m=h2+kh,即F(0,h2+kh),
當EF和x軸平行時,點E,F(xiàn)的縱坐標相等,
即點E的縱坐標為h2+kh,
當y=h2+kh時,代入y=(x-h)2+kh,
解得x=2h(0舍去,否則E,F(xiàn),O重合),
即點E坐標為(2h,h2+kh),(1分)
將此點橫縱坐標代入y=kx得到h=k(h=0舍去,否則點E,F(xiàn),O重合),
此時點E(2k,2k2),F(xiàn)(0,2k2),C(k,2k2),A(k,k2),
∴AC:OF=k2:2k2=1:2.
方法三:∵EF與x軸平行,
根據(jù)拋物線對稱性得到FC=EC,
∵ACFO,
∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE,
∴△OFE△ACE,
∴AC:OF=EC:EF=1:2.

(3)當點F的位置處于最低時,其縱坐標h2+kh最小,
∵h2+kh=[h2+kh+(
k
2
2]-
k2
4

當h=-
k
2
,點F的位置最低,此時F(0,-
k2
4
),
解方程組
y=(x+
k
2
)2-
k2
2
y=kx

得E(
k
2
,
k2
2
),A(-
k
2
,-
k2
2
).
方法一:設(shè)直線EF的解析式為y=px+q,
將點E(
k
2
,
k2
2
),F(xiàn)(0,-
k2
4
)的橫縱坐標分別代入得
k2
2
=
k
2
p+q
-
k2
4
=q

解得:p=
3
2
k
,q=-
1
4
k2
,
∴直線EF的解析式為y=
3
2
k
x-
1
4
k2
,
當x=-
k
2
時,y=-k2,即點C的坐標為(-
k
2
,-k2),
∵點A(-
1
2
k
,-
k2
2
),
∴AC=
k2
2
,而OF=
1
4
k2
,
∴AC=2OF,即AC:OF=2.
方法二:∵E(
k
2
,
k2
2
),A(-
k
2
,-
k2
2
),
∴點A,E關(guān)于點O對稱,
∴AO=OE,
∵ACFO,
∴∠ECA=∠EFO,∠FOE=∠CAE,
∴△OFE△ACE,
∴AC:OF=AE:OE=2:1.
練習冊系列答案
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如圖,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點B、C,點A是拋物線與x軸的另一個交點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)若P是拋物線上一點,且S△ABP=
1
2
S△ABC,這樣的點P有______個.

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32
3
米.如圖a:以球門底部為坐標原點建立坐標系,球門PQ的高度為2.44米.問:

(1)通過計算說明,球是否會進球門?
(2)如果守門員站在距離球門2米遠處,而守門員跳起后最多能摸到2.75米高處,他能否在空中截住這次吊射?
(3)如圖b:在另一次地面進攻中,假如守門員站在離球門中央2米遠的A點處防守,進攻隊員在離球門中央12米的B處以120千米/小時的球速起腳射門,射向球門的立柱C.球門的寬度CD為7.2米,而守門員防守的最遠水平距離S和時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=10t,問這次射門守門員能否擋住球?

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(1)求該拋物線的解析式;
(2)連接BC,CP,PD,BD,求四邊形PCBD的面積;
(3)在拋物線上是否存在一點M,使得△MDC的面積等于四邊形PCBD的面積
1
3
?如果存在,求出點M的坐標;如果不存在,請說明理由.

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(1)當點M運動到A點時,N點距原點O的距離是多少?當點M運動到AB上(不含A點)時,連接MN,t為何值時能使四邊形BCNM為梯形?
(2)0≤t<2時,過點N作NP⊥x軸于P點,連接AC交NP于Q,連接MQ
①求△AMQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出t的取值范圍)
②當t取何值時,△AMQ的面積最大?最大值為多少?
③當△AMQ的面積達到最大時,其是否為等腰三角形?請說明理由.

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(2)求以二次函數(shù)圖象與坐標軸交點為頂點的三角形面積;
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1
2
時,炮彈飛行的最大高度是______m.

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某建筑物的窗口如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有黑線的長度和)為15m,當半圓的半徑為多少時,窗戶通過的光線最多?此時,窗戶的面積是多少(結(jié)果精確到0.01m)?

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