已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90°,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合),Q是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)B、C不重合)
(1)如圖,當(dāng)PQ∥AC,且Q為BC的中點(diǎn)時(shí),求線段CP的長(zhǎng);
(2)當(dāng)PQ與AC不平行時(shí),△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能,請(qǐng)求出線段CQ的長(zhǎng)的精英家教網(wǎng)取值范圍;若不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)平行線等分線段定理得到點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn),再直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,要求線段CP的長(zhǎng),只需根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng).
(2)若PQ與AC不平行,則要使△CPQ成為直角三角形.只需保證∠CPQ=90°.根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,則分析以CQ為直徑的圓和斜邊AB的公共點(diǎn)的情況:一是半圓和AB相切;二是半圓和AB相交.首先求得相切時(shí)CQ的值,即可進(jìn)一步求得相交時(shí)CQ的范圍.
解答:解:(1)在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=5,BC=12,精英家教網(wǎng)
∴AB=13;
∵Q是BC的中點(diǎn),
∴CQ=QB;
又∵PQ∥AC,
∴AP=PB,即P是AB的中點(diǎn),
∴Rt△ABC中,CP=
13
2


(2)當(dāng)AC與PQ不平行時(shí),只有∠CPQ為直角,△CPQ才可能是直角三角形.
以CQ為直徑作半圓D,
①當(dāng)半圓D與AB相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為M,連接DM,則精英家教網(wǎng)
DM⊥AB,且AC=AM=5,
∴MB=AB-AM=13-5=8;
設(shè)CD=x,則DM=x,DB=12-x;
在Rt△DMB中,DB2=DM2+MB2
即(12-x)2=x2+82,
解之得x=
10
3
,
∴CQ=2x=
20
3
;
即當(dāng)CQ=
20
3
且點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)M位置時(shí),△CPQ為直角三角形.
②當(dāng)
20
3
<CQ<12時(shí),半圓D與直線AB有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到這兩個(gè)交點(diǎn)的位置時(shí),△CPQ為直角三角形
③當(dāng)0<CQ<
20
3
時(shí),半圓D與直線AB相離,即點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),均在半圓D外,∠CPQ<90°,此時(shí)△CPQ不可能為直角三角形.
∴當(dāng)
20
3
≤CQ<12時(shí),△CPQ可能為直角三角形.
點(diǎn)評(píng):綜合運(yùn)用了直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理的推論以及切線的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算.
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A、
168
5
π
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C、
84
5
π
D、12π

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72
°.

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