Question

如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AE=EB，線段MN的兩端點(diǎn)分別在CB、CD上滑動(dòng)，且MN=1，當(dāng)CM為何值時(shí)△AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析：根據(jù)AE=EB，△AED中AD=2AE，所以在△MNC中，分CM與AE和AD是對(duì)應(yīng)邊兩種情況利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CM與CN的關(guān)系，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可．

解答：解：∵AE=EB，∴AD=2AE，
又∵△AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似，
∴（1）CM與AD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，CM=2CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+

1

4

CM²=1，
解得CM=

2 5

5

；

（2）CM與AE是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，CM=

1

2

CN，
∴CM²+CN²=MN²=1，
即CM²+4CM²=1，
解得CM=

5

5

．
所以CM為

2 5

5

或

5

5

時(shí)，△AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)和直角三角形勾股定理求解．