Question

如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M、N以每秒1個單位的速度分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，其中點(diǎn)M沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動，點(diǎn)N沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)兩個動點(diǎn)運(yùn)動了t秒時，過點(diǎn)N作NP⊥BC，交OB于點(diǎn)P，連接MP．
（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為

 

；用含t的式子表示點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6）；并求t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：當(dāng)S有最大值時，在y軸上是否存在點(diǎn)T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC面積的

1

3

？若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA=6，AB=4，易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=CN=t，縱坐標(biāo)=4-NP，NP的值可根據(jù)相似比求得；
（2）由（1）的結(jié)論易得△OMP的高為

2

3

t，而OM=6-AM=6-t，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與t的函數(shù)關(guān)系式，再由二次函數(shù)的最值求法，求得t為何值時，S有最大值；
（3）由（2）求得點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，從而求得直線ON的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），可得直線MT的函數(shù)關(guān)系式，解由兩個關(guān)系式組成的方程組，可得點(diǎn)直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)；由已知易得S_△OCN=

1

2

×4×3=6，∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2；然后分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時，②當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)OC的延長線上，從而求得符合條件的點(diǎn)T的坐標(biāo)．

解答：解：（1）延長NP交OA于H，
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）；
由圖可得，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)=0H=CN=t，縱坐標(biāo)=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-

2

3

t，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)=4-NP=

2

3

t，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，

2

3

t）；
（其中寫對B點(diǎn)得1分）（3分）

（2）∵S_△OMP=

1

2

×OM×

2

3

t，（4分）
∴S=

1

2

×（6-t）×

2

3

t=-

1

3

t2+2t．
=-

1

3

(t-3)2+3（0＜t＜6）．（6分）
∴當(dāng)t=3時，S有最大值．（7分）

（3）存在．
由（2）得：當(dāng)S有最大值時，點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為：M（3，0），N（3，4），
則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：y=

4

3

x．
設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

b

3

x+b，
解方程組

y= 4 3 x y=- b 3 x+b

得

x= 3b 4+b y= 4b 4+b

，
∴直線ON與MT的交點(diǎn)R的坐標(biāo)為(

3b

4+b

，

4b

4+b

)．
∵S_△OCN=

1

2

×4×3=6，
∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2．（8分）
①當(dāng)點(diǎn)T在點(diǎn)O、C之間時，分割出的三角形是△OR₁T₁，如圖，作R₁D₁⊥y軸，D₁為垂足，
則S_△OR1T1=

1

2

RD₁•OT=

1

2

•

3b

4+b

•b=2．
∴3b²-4b-16=0，b=

2±2 13

3

．
∴b₁=

2+2 13

3

，b₂=

2-2 13

3

（不合題意，舍去）
此時點(diǎn)T₁的坐標(biāo)為（0，

2+2 13

3

）．（9分）
②當(dāng)點(diǎn)T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R₂NE，如圖，設(shè)MT交CN于點(diǎn)E，由①得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

3b-12

b

，作R₂D₂⊥CN交CN于點(diǎn)D₂，則
S_△R2NE=

1

2

•EN•R₂D₂=

1

2

•(3-

3b-12

b

)•(4-

4b

4+b

)=

96

b(4+b)

=2．
∴b²+4b-48=0，b=

-4± 16+4×48

2

=±2

13

-2．
∴b₁=2

13

-2，b₂=-2

13

-2（不合題意，舍去）．
∴此時點(diǎn)T₂的坐標(biāo)為（0，2

13

-2）．
綜上所述，在y軸上存在點(diǎn)T₁（0，

2+2 13

3

），T₂（0，2

13

-2）符合條件．（10分）

點(diǎn)評：此題綜合性較強(qiáng)，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、平行線分線段成比例、二次函數(shù)的最值、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)．