(2013•江北區(qū)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),直角梯形AOCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,
3
),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,
3
),點(diǎn)C在x軸的正半軸上,過(guò)點(diǎn)O且以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,點(diǎn)P為CD的中點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)在y軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切?若存在,請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)點(diǎn)M為線段OP上一動(dòng)點(diǎn)(不與O點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)O、M、D的圓與y軸的正半軸交于點(diǎn)N.求證:OM+ON為定值.
(4)在y軸上找一點(diǎn)H,使∠PHD最大.試求出點(diǎn)H的坐標(biāo).
分析:(1)因?yàn)閽佄锞的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,
3
),所以可設(shè)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+
3
,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)原點(diǎn),所以把(0,0)代入求出a的值即可求出拋物線的解析式,設(shè)y=0,則可求出拋物線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)Q,使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切,此題要分兩種情況討論:①若⊙Q在直線OP上方②若⊙Q在直線OP下方,再分別求出符合題意的Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可;
(3)由圓周角定理可證明MD=ND,進(jìn)而證明△NAD≌△MPD(HL),由全等三角形的性質(zhì)可得MP=AN,所以O(shè)M+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=
3
,則OM+ON=2
3
,即OM+ON為定值;       
(4)作過(guò)P、D兩點(diǎn)且與y軸相切于點(diǎn)H的圓S,則由圓周角大于圓外角可知,∠PHD最大,S(x,y),則由HS=SD=SP,繼而求出點(diǎn)H坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,
3
),
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+
3

將(0,0)代入,得a+
3
=0
,a=-
3
,
∴拋物線的解析式為y=-
3
(x-1)2+
3
,
即 y=-
3
x2+2
3
x
,
設(shè)y=0,則x=0或2,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2),
∵點(diǎn)P為CD的中點(diǎn),
P(
3
2
,
3
2
)
;

(2)在y軸右側(cè)的拋物線上存在點(diǎn)Q,使以Q為圓心的圓同時(shí)與y軸、直線OP相切,
理由如下:
①若⊙Q在直線OP上方,則Q與D點(diǎn)重合,此時(shí)Q1(1,
3
)

②若⊙Q在直線OP下方,與y軸、直線OP切于E、F,
則QE=QF,QE⊥y軸,QF⊥OP,
∴OQ平分∠EOF,
∵∠EOF=120°,
∴∠FOQ=60°,
∵∠POC=30°,則∠QOC=30°,
設(shè)Q(m,-
3
3
m)
,則-
3
3
m=-
3
m2+2
3
m
,
解得m1=0(舍去),m2=
7
3
,
Q2(
7
3
,-
7
3
9
)
;

(3)證明:∵在過(guò)點(diǎn)O、M、D的圓中,有∠MOD=∠NOD,
MD
=
ND
,
∴MD=ND,
易得OD平分∠AOP,DA⊥y軸,DP⊥OP,
∴DA=DP,
可證得△NAD≌△MPD(HL),
∴MP=AN,
∴OM+ON=OP-MP+OA+AN=OP+OA=2OA=
3
,
則OM+ON=2
3
,即OM+ON為定值;        

(4)作過(guò)P、D兩點(diǎn)且與y軸相切于點(diǎn)H的圓S,
則由圓周角大于圓外角可知,∠PHD最大.     
設(shè)S(x,y),則由HS=SD=SP,
可得,y=2
3
±6,
∵0<y<
3
,
∴H(0,2
3
-6).
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的運(yùn)用、角平分線的性質(zhì)以及考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,題目的綜合性強(qiáng),難度大,對(duì)學(xué)生的綜合解題能力要求很高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江北區(qū)模擬)點(diǎn)A(2,y1)、B(3,y2)是二次函數(shù)y=x2-2x+2013的圖象上兩點(diǎn),則y1與y2的大小關(guān)系為y1
y2(填“>”、“<”、“=”).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江北區(qū)模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,梯形AOBC的邊OB在x軸的正半軸上,AC∥OB,BC⊥OB,過(guò)點(diǎn)A的雙曲線y=
k
x
的一支在第一象限交梯形對(duì)角線OC于點(diǎn)D,交邊BC于點(diǎn)E.若
OD
OC
=
1
2
,S△OAC=2,則k的值為
4
3
4
3

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江北區(qū)模擬)已知數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-5,6,⊙A的半徑為5cm,⊙B的半徑為7cm.⊙A以每秒1cm的速度在數(shù)軸上沿正方向運(yùn)動(dòng),⊙B固定不動(dòng).當(dāng)兩圓相切時(shí),點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
9,13,23
9,13,23
秒.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•江北區(qū)模擬)如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分,我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.
(1)矩形有
無(wú)數(shù)
無(wú)數(shù)
條面積等分線;
(2)如圖①,在矩形中剪去一個(gè)小正方形,這個(gè)圖形有
無(wú)數(shù)
無(wú)數(shù)
條面積等分線,請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)圖形的一條面積等分線,并說(shuō)明理由;
(3)如圖②,在矩形中剪去兩個(gè)小正方形,請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)圖形的一條面積等分線,并說(shuō)明理由.

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