Question

如圖①，直線AB的解析式為y=kx-2k（k＜0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∠ABO=60°．經(jīng)過A、O兩點(diǎn)的⊙O₁與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與直線AB切于點(diǎn)A．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖②，過O₁作直線EF∥y軸，在直線EF上是否存在一點(diǎn)D，使得△DAB的周長(zhǎng)最短，若存在，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，不存在，說明理由；
（3）在（2）的條件下，連接OO₁與⊙O₁交于點(diǎn)G，點(diǎn)P為劣弧

GF

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接GP與EF的延長(zhǎng)線交于H點(diǎn)，連接EP與OG交于I點(diǎn)，當(dāng)P在劣弧

GF

運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與G、F兩點(diǎn)重合），O₁H-O₁I的值是否發(fā)生變化，若不變，求其值，若發(fā)生變化，求出其值的變化范圍．

Answer 1

分析：（1）連接AC∵y=kx-2k∴B（2，0）∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°∴AB=4，OA=2

3

，求出∠CAB=90°則可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）取B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)M，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，0），設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b，求出解析式后再求直線AM與直線EF的交點(diǎn)即可；
（3）連接GF，證明△HGF≌△IEO₁，即可得出O₁H-O₁I的值不發(fā)生變化．

解答：解：（1）連接AC
∵y=kx-2k∴B（2，0）
∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°
∴AB=4，OA=2

3

∵AB是切線∴∠CAB=90°，∠ACB=30°
∴AC=4

3

，CO=6
∴C（-6，0）．

（2）存在D點(diǎn)，坐標(biāo)為D(-3，

5

4

3

)
∵EF過圓心且垂直x軸，
∴EF平分CO
取B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)M，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，0）
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b
∵A(0，2

3

)，M（-8，0）∴y=

3

4

x+2

3

直線AM與直線EF的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，此時(shí)△DAB的周長(zhǎng)最短
∴D(-3，

5

4

3

)，

（3）O₁H-O₁I的值不發(fā)生變化，O₁H-O₁I=2

3

連接GF，
∵∠GOC=30°
∴∠OO₁E=∠GO₁F=60°
∴△GO₁F為等邊三角形
∴GF=O₁E
∵∠HGF=∠HEP，∠HFG=∠EO₁I=120°
∴△HGF≌△IEO₁
∴HF=IO₁
∴O₁H-O₁I=O₁F=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)，難度較大，關(guān)鍵是巧妙作出輔助線進(jìn)行解題．