Question

15．如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為6cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度是1cm/s．

（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，求證：∠CMQ=60°；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少時(shí)，△PBQ是直角三角形？
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B、C后繼續(xù)在AB、BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，求∠CMQ的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABQ≌△CAP，從而得到∠BAQ=∠ACP，然后利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可；
（2）設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=6-t，①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，列方程得到結(jié)果；
（3）先證明△ACQ≌△CBP，從而得到∠CAQ=∠BCP然后依據(jù)∠CAM+∠ACM=∠BCP+∠ACM求解即可．

解答 （1）證明：∵等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由條件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（2）解：設(shè)時(shí)間為t，則AP=BQ=t，PB=6-t，
①當(dāng)∠PQB=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2；
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；
∴當(dāng)?shù)?秒或第4秒時(shí)，△PBQ為直角三角形；
（3）解：∵在等邊三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由條件得BP=CQ，AC=BC
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．