Question

如圖，在正方形ABCD中，F是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE
（1）若正方形ABCD的邊長為4，BE=3，求EF的長？
（2）求證：AE=EC+CD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件可知∠C=90°，CF=2，CE=1，根據勾股定理就可以求出EF的值．
（2）作FG⊥AE于G，由AF平分∠DAE可以得出AD=AG，DF=GF，∠AGF=90°，通過證明△FGE≌△FCE，可以得出GE=CE，進而可以得出結論AE=EC+CD．
解答：解：
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠D=∠C=90°．
∵BE=3，
∴EC=1．
∵F是CD的中點，
∴DF=CF=2．
在Rt△EFC中，由勾股定理得
．

（2）證明：過F作FG⊥AE于G
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FG⊥AE，

∴∠DAF=∠EAF，FG=FD，
在Rt△AGF與Rt△ADF中，
∵AF為公共邊，FG=FD
∴Rt△AGF≌Rt△ADF（HL）．
∴AG=AD，GF=DF．     
∵DF=FC=FG，FE為公共邊，
∴△FGE≌△FCE．
∴GE=CE．
∵AE=AG+GE，AG=AD=CD，GE=CE，
∴AE=EC+CD．
點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理的運用．線段中點的定義．書寫全等三角形的時候對應頂點必須寫在對應位置上．