Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=4，OC=2。點P從點O出發(fā)，沿x軸以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動。設(shè)點P運動的時間是t秒，將線段CP的中點繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點D，點D隨點P的運動而運動，連結(jié)DP，DA。

（1）請用含t的代數(shù)式表示出點D的坐標；
（2）求t為何值時，△DPA的面積最大？最大面積為多少？
（3）當點P與點O重合時，CO的中點繞點P旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為D₁，點P與點A重合時，CA中點繞P點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為D₂，求直線D₁D₂的解析式；
（4）求出隨著點P的運動，點D運動路線的長度。

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E，
則∠DPE=∠COP=90°，
因為∠CPD=90°，
∴∠DPE=90°-∠CPO，
又∵∠OPC=90°-∠CPO，
∴∠DPE=∠OPC，
∴△PED∽△COP，
∴，
∴PE==1，DE=OE=OP+PE=t+1，
∴D點的坐標為；
（2）PA=4-t，DE==t，所以S_△DPA==，
∴當t=2時，S_△DPA最大，且最大值為1；
（3）D₁（1，0），D₂（5，2），設(shè)直線D₁D₂的解析式為y=kx+b，所以，解得，
∴直線D₁D₂的解析式為y=，
（4）將D點坐標代入到解析式中，y=，
∴點D在直線D₁D₂上，即D點運動的路線是一條線段，起點是D₁（1，0），終點是D₂（5，2），
D₁D₂=，∴點D運動路線的長度為。