Question

如圖：直線y=-x+4與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)P是直線AB上的一點(diǎn)，Q是雙曲線y=

k

x

(k≠0)上的一點(diǎn)，若O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請在圖中找出二個符合條件的點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)

 

、

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：應(yīng)用題

分析：當(dāng)雙曲線y=

k

x

(k≠0)在一、三象限時，P、B兩點(diǎn)重合，Q點(diǎn)為正方形BOAQ的一個頂點(diǎn)，圖形符合題意；
當(dāng)雙曲線y=

k

x

(k≠0)在二、四象限時，作OQ∥AB，且OQ=OA=6，再作PQ∥OA交直線AB于P點(diǎn)，圖形符合題意．

解答：解：令y=0得x=4，令x=0得y=4，可加A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（4，0），B（0，4）；
∵P在AB上，
∴P在直線y=-x+4上，這樣可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-x+4）；
（1）根據(jù)OQAP為菱形，則|OP|=|AP|，（菱形四個邊相等的性質(zhì)）；
由兩點(diǎn)距離公式得：|OP|=

(x-0)2+(-x+6-0)2

=

2x2-8x+16

|AP|=

(x-4)2+(-x+4)2

=

2(x-2)2

則2x²-8x+16=2（x-4）²，
解得：x=2；
于是點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，2）；
設(shè)Q坐標(biāo)（xq，yq）又由于OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，0）；PQ的中點(diǎn)的坐標(biāo)為：（

xq+2

2

，

yq+2

2

），
根據(jù)菱形的性質(zhì)OQ的中點(diǎn)即為PA的中點(diǎn)，
則2=

xq+2

2

，0=

yq+2

2

解得：x_q=2，y_q=-2
故此時點(diǎn)Q坐標(biāo)為：（2，-2）；

（2）同理，OAQP為菱形時，|OA|=|OP|

(4-0)2+(0-0)2

=

(x-0)2+(-4+x-0)2

，
解得：x=0或x=4；
P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）或（4，0）（當(dāng)P點(diǎn)為（4，0）與A點(diǎn)重合，無法組成菱形PAQP所以舍去）
此時：O（0，0）A（4，0）Q（xq，yq）P（0，4）
OQ中點(diǎn)即為AP中點(diǎn)有：x_q=4，y_q=4，
Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，4）；

（3）同理，OAPQ為菱形時，|OP|=|AP|

(4-0)2+(0-0)2

=

(x-4)2+(-x+4-0)2

解得x=4+2

2

或x=4-2

2

P點(diǎn)坐標(biāo)為：（4+2

2

，-2

2

）或（4-2

2

，2

2

）
此時O（0，0），A（4，0），P（4+2

2

，-2

2

）或（4-2

2

，2

2

），Q（xq，yq）
OP中點(diǎn)即為AQ中點(diǎn)，可以求出：
Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（2

2

，-2

2

）或（-2

2

，2

2

），
故答案為：（2

2

，2

2

）、（2

2

，-2

2

）任選一個，（4，4）、（2，-2）任選一個．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解菱形的四邊相等，對邊平行，是判斷本題的關(guān)鍵，需要根據(jù)雙曲線所在的象限分類解題，明確正方形屬于菱形的特殊情況．