Question

如圖1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2的位置，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．
（3）在（2）的條件下，若∠MOB=15°，正方形ABCD的面積為4，求三角形OBM的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形與正方形的性質(zhì)，可以證明△OBM≌△OFN，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可求證；
（2）與（1）的證明思路相同，證明△OBM≌△OFN；
（3）求出OQ、BQ的長，解直角三角形，求出MQ，分別求出△OQB和△OQM的面積，即可得出答案．

解答：（1）BM=FN，
證明：如圖2，∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM和△OFN中，

∠ABD=∠F BO=OF ∠BOM=∠FON

∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立，
證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM和△OFN中，

∠MBO=∠NFO OB=OF ∠MOB=∠NOF

∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；

（3）解：∵正方形ABCD的面積為4，
∴∠A=90°，AD=AB=2，DO=OB，∠OBQ=45°，
∴由勾股定理得：BD=

22+22

=2

2

，
∴OB=

2

，
∵∠A=90°，OQ⊥AB，
∴OQ∥AD，
∵DO=BO，
∴AQ=BQ，
∴OQ=

1

2

AD=1，BQ=

1

2

AB=1，
∵∠OBQ=45°，∠BOM=15°，
∴∠QMO=30°，
∴MQ=

OQ

tan30°

=

3

，
∴三角形OBM的面積是S_△OQM-S_△OQB=

1

2

×

3

×1-

1

2

×1×1=

3 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形的應(yīng)用，證明兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵，在解題的過程中要注意兩問的聯(lián)系．