Question

如圖，在平面直角坐標系中，將直線y=x-沿x軸翻折，得到一條新直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將拋物線沿x軸平移，得到一條新拋物線與y軸交點于點C，與直線AB交于點E、F．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若線段CF∥x軸，求平移后拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若點F在y軸右側，過F作FH⊥x軸于點G，與直線y=x-交點H．是否存在不過△AFH頂點同時平分△AFH的周長和面積的直線l？若存在，求直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AB的解析式是y=kx+b，先求出直線y=-x-與x軸、y軸的交點坐標，根據沿x軸翻折得到A、B的坐標，把A、B的坐標代入直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，即可求得函數的解析式；
（2）設拋物線的頂點為F（h，0），得到拋物線的解析式為y=（x-h）²，根據DF∥x軸，把F的坐標代入直線AB的解析式即可求出h的值，從而求解；
（3）設拋物線上是否存在P、Q兩點（點P在點Q的上方），PQ與AF交于點M，與FH交于點N，過M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，設FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根據三角形的面積公式求出△MNF和△AFH的面積，根據之間的等量關系即可求出k的值，設直線MN的解析式為：y=kx+b，把M（，），N（6，-4）代入得到方程組，求出方程組的解即可得到直線l的解析式．
解答：  解：設直線AB的解析式為y=kx+b，直線y=-x-與x軸、y軸的交點坐標分別是（-2，0），（0，-），沿x軸翻折．
∵直線y=-x-，直線AB交于x軸上的同一點（-2，0），B的坐標是（0，），
根據題意得：，
解得：．
則直線AB的解析式是：y=x+；
（2）解：設拋物線的頂點為P（h，0），
拋物線解析式為y=（x-h）²，
則C（0，h²）．
∵CF∥x軸，
∴點F（2h，h²），又點F在直線AB上，
∴h²=（2h）+，
解得：h=3或-（舍去）．
∴拋物線的解析式是y=（x-3）²；

（3）設拋物線上是否存在P、Q兩點（點P在點Q的上方），PQ與AF交于點M，與FH交于點N，過M作MT⊥FH于T．
則Rt△MTF∽Rt△AGF．
則FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
設FT=3k，TM=4k，FM=5k，
則FN=（AH+HF+AF）-FM=16-5k，
則S_△MNF=FN•MT=，
∵S_△MNF=S_△AFH，
∴=24，
解得：k=或2（舍去）．
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，
∴M（，）、N（6，-4），
∴設直線MN的解析式為：y=kx+b，把M、N的坐標代入得：
，
解得：．
則直線l的解析式為y=-x+4．
點評：本題主要考查對用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，解二元一次方程組、解二元二次方程組，三角形相似的性質和判定，圖形的旋轉等知識點，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．