Question

如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AD交AB于點E，M為AE的中點，BF⊥BC交CM的延長線于點F
（1）求證：．
（2）若BD=4，CD=3，求BE•AC的值．

Answer 1

（1）證明：連接DM．
在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，則DM=MA，
∴∠MDA=∠MAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD=∠DAC，
∴∠MDA=∠DAC，
∴MD∥AC，
∵AC⊥BC，BF⊥BC，
∴BF∥AC，
∴DM∥BF∥AC，
∴，△ACM∽△BFM，
∴，
∴．

（2）解：∵∠AED=90°-∠EAD，∠ADC=90°-∠DAC，
∵∠EAD=∠DAC，
∴∠AED=∠ADC
∴∠BED=∠BDA，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BED∽△BDA，
∴DE：DA=BE：BD，
∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴DE：DA=DC：AC，
∴BE：BD=DC：AC，
∴BE•AC=BD•DC=4×3=12．
分析：（1）首先連接DM，由在Rt△ADE中，MD為斜邊AE的中線，則DM=MA，又由AD平分∠BAC，易證得DM∥BF∥AC，可得，△ACM∽△BFM，繼而證得．
（2）易證得△BED∽△BDA，△ADE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可得BE：BD=DC：AC，繼而求得答案．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．