Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm．以AB為直徑作圓O，動點P沿AD方向從點A開始向點D以1厘米/秒的速度運動，動點Q沿CB方向從點C開始向點B以2厘米/秒的速度運動，點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，當其中一點停止時，另一點也隨之停止運動。
（1）求⊙O的半徑長；
（2）求四邊形PQCD的面積y關于P、Q運動時間t的函數表達式，并求出當四邊形PQCD為等腰梯形時，四邊形PQCD的面積；
（3）是否存在某一時刻t，使直線PQ與⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥BC于E， ∵AB⊥BC， ∴四邊形ADEB為矩形， ∴BE=AD=13，EC=3 又∵CD=5， ∴DE==4，即AB=4， ∴⊙O的半徑為2cm； （2）當P、Q運動t秒時，AP=t，CQ=2t 則S四邊形PQCD=y=（13﹣t+2t）×4， 即y=2t+26（0≤t≤8） 當四邊形PQCD為等腰梯形時，過P作PF⊥BC于F（如圖一）， 則有QF=CE=3 ∴2t﹣（13﹣t）=6， 則t= 此時四邊形PQCD面積y=（cm2）； （3）存在．若PQ與圓相切，設切點為G，（如圖二） 作PH⊥BC于H ∵A在⊙O上，∠A=90°， ∴AD切⊙O于A， ∵PQ切⊙O于G， ∴由切線長定理得：PG=PA=t．QG=QB=16﹣2t，QH=QB﹣BH=（16﹣2t）﹣t=16﹣3t PQ=QB+AP=16﹣t 在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2， 即（16﹣t）2=16+（16﹣3t）2 ∴t2﹣8t+2=0， 解得， ∵0≤t≤8， ∴當時，PQ與圓相切。