Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

2

x+

5

與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△ABO繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足為D，直線AB與線段A?B?相交于點(diǎn)G．動點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運(yùn)動，設(shè)動點(diǎn)E運(yùn)動的時間為t秒．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）連接DE，當(dāng)DE與線段OB′相交，交點(diǎn)為F，且四邊形DFB′G是平行四邊形時，（如圖2）求此時線段DE所在的直線的解析式；
（3）若以動點(diǎn)為E圓心，以2

5

為半徑作⊙E，連接A′E，t為何值時，Tan∠EA′B′=

1

8

？并判斷此時直線A′O與⊙E的位置關(guān)系，請說明理由．

Answer 1

分析：現(xiàn)根據(jù)直線y=

1

2

x+

5

與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而再求出OD的長度；然后根據(jù)需要作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，再結(jié)合題意對題目進(jìn)行分析．

解答：解：（1）由題意知A（-2

5

，0）B（0，

5

），
∴OA=2

5

，OB=

5

，
∴AB=

(2 5 )2+( 5 )2

=5，
∵OD⊥AB，
∴

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OD，
∴OD=

2 5 × 5

5

=2．
過點(diǎn)D作DH⊥x軸于點(diǎn)H．（如圖1）
∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，
∴∠ODH=∠BAO，
∴tan∠ODH=tan∠BAO=

1

2

，
∴DH=2OH．
設(shè)OH=a，則DH=2a．
∴a²+4a²=4，
∴a=

2 5

5

．
∴OH=

2 5

5

，DH=

4 5

5

．
∴D（-

2 5

5

，

4 5

5

）；

（2）設(shè)DE與y軸交于點(diǎn)M．（如圖2）
∵四邊形DFB′G是平行四邊形，
∴DF∥B′G，
∴∠1=∠A′．
又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BAO=∠2．
∵∠BAO=∠A′，
∴∠1=∠2，
∴DM=OM．（1分）
∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，
∴∠3=∠4，
∴BM=DM，
∴BM=OM，
∴點(diǎn)M是OB中點(diǎn)，
∴M（0，

5

2

）．
設(shè)線段DE所在直線解析式為y=kx+b．
把M（0，

5

2

）D（-

2 5

5

，

4 5

5

）代入y=kx+b，
得

5 2 =b 4 5 5 =- 2 5 5 k+b

，解得

k=- 3 4 b= 5 2

．
∴線段DE所在直線的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

；

（3）設(shè)直線A′B′交x軸于點(diǎn)N，（如圖3）過點(diǎn)A′作A′K⊥x軸于點(diǎn)K．
∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2

5

，
∴△AOD≌△A′OK，
∴OK=2，
∴A′K=4，
∴A′（-2，4）．
過點(diǎn)B′作B′T⊥y軸于點(diǎn)T，同理△OBD≌△B′OT，
∴B′（2，1）．
設(shè)直線A’B’的解析式為y=k₁x+b₁．
則

1=2k1+b1 4=-2k1+b1

，解得

k1=- 3 4 b1= 5 2

．
∴直線A′B′的解析式為y=-

3

4

x+

5

2

．
∴N（

10

3

，0），
∴KN=

16

3

，
∴A’N=

A′K2+KN2

=

20

3

．
當(dāng)E點(diǎn)在N點(diǎn)左側(cè)點(diǎn)E₁位置時，過點(diǎn)E₁作E₁Q₁⊥A’N于點(diǎn)Q₁．
∵tan∠A’NK=

A′K

KN

=

3

4

，
∴設(shè)E₁Q₁=3m，則Q₁N=4m．
又∵tan∠E₁A’B’=

1

8

，
∴A’Q₁=24m，
∴28m=

20

3

，
∴m=

5

21

，
∴E₁N=

25

21

，
∴OE₁=ON-E₁N=

15

7

，此時t=

15

7

．
過點(diǎn)E₁作E₁S₁⊥A’O于點(diǎn)S₁．
∵sin∠E₁OS₁=sin∠A′OK，
∴

E1S1

OE1

=

A′K

OA′

，
∴E₁S₁=

4

2 5

×

15

7

=

6 5

7

．
∵⊙E的半徑為2

5

，而

6 5

7

＜2

5

，
∴⊙E₁與直線A’O相交．
當(dāng)E點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)E₂位置時，
過點(diǎn)E₂作E₂Q₂⊥A′N于點(diǎn)Q₂．
同理OE₂=5，此時t=5．
過點(diǎn)E₂作E₂S₂⊥A′O于點(diǎn)S₂．
同理E₂S₂=

4

2 5

×5=2

5

．
∵⊙E的半徑為2

5

，
∴⊙E₂與直線A′O相切．
∴當(dāng)t=

15

7

或t=5時，tan∠EA′B′=

1

8

；
當(dāng)t=

15

7

時直線A′O與⊙E相交，當(dāng)t=5時直線A′O與⊙E相切．

點(diǎn)評：解決較復(fù)雜的幾何問題，作出合適的輔助線是解決問題的一個關(guān)鍵，同時要熟記一些定理或推論．