Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²十2x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．頂點為D．
（1）求函數(shù)圖象的頂點D的坐標、對稱軸以及與坐標軸的交點坐標；
（2）自變量x在什么范圍時，y＜0？并求出函數(shù)的最大值或最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：計算題

分析：（1）先配方得到y(tǒng)=-（x-1）²+4，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可確定頂點D的坐標、對稱軸；然后解方程-x²+2x+3=0可確定拋物線與坐標軸的交點坐標；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當x＜-1或x＞3時，對應(yīng)的函數(shù)圖象在x軸下方，即y＜0，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定當x=1時，y有最大值4．

解答：解：（1）y=-x²十2x+3=-（x-1）²+4，
所以頂點D的坐標為（1，4），對稱軸為直線x=1；
令y=0，則-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
所以A點坐標為（-1，0），B點坐標為（3，0）；
（2）當x＜-1或x＞3時，y＜0；
因為a=-1＜0，
所以x=1時，y有最大值4．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值問題．