Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．過原點(diǎn)O作直線l，使它經(jīng)過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設(shè)為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，我們把這個(gè)操作過程記為FZ[θ，a]．

【理解】
若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，則這個(gè)操作過程為FZ[　 　，　 　]；
【嘗試】
（1）若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)（如圖2），求θ；

（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，若點(diǎn)E在四邊形0ABC的邊AB上，求出a的值；若點(diǎn)E落在四邊形0ABC的外部，直接寫出a的取值范圍；
【探究】
經(jīng)過FZ[θ，a]操作后，作直線CD交x軸于點(diǎn)G，交直線AB于點(diǎn)H，使得△ODG與△GAH是一對(duì)相似的等腰三角形，直接寫出FZ[θ，a]．

Answer 1

【理解】45°；3。
【嘗試】（1）θ=30°。
（2）0＜a＜5
【探究】FZ[30°，2+]，F(xiàn)Z[60°，2+]。

試題分析：【理解】若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，由折疊性質(zhì)可知，OA=OC=3，θ=∠AOC=45°，∴FZ[45°，3]。
【嘗試】
（1）如答圖1所示，若點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn)，連接CD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F．證明△BCD≌△AFD，進(jìn)而得到△OCD為等邊三角形，則θ=30°。
（2）如答圖2所示，若點(diǎn)E在四邊形OABC的邊AB上，則△ADE為等腰直角三角形，由此求出a=OA=OD+OA=5。由答圖2進(jìn)一步得到，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部。
【探究】滿足條件的圖形有兩種，如答圖3、答圖4所示。
解：【理解】45°；3。
【嘗試】
（1）如答圖1所示，連接CD并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)F，

在△BCD與△AFD中，∵，
∴△BCD≌△AFD（ASA）。
∴CD=FD，即點(diǎn)D為Rt△COF斜邊CF的中點(diǎn)。
∴OD=CF=CD。
又由折疊可知，OD=OC，∴OD=OC=CD。
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°。∴θ=∠COD=30°。
（2）經(jīng)過FZ[45°，a]操作，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則點(diǎn)D落在x軸上，AB⊥直線l，如答圖2所示，

若點(diǎn)E四邊形OABC的邊AB上，
由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2。
∵AB⊥直線l，θ=45°，∴△ADE為等腰直角三角形。
∴AD=DE=2�！郞A=OD+AD=3+2=5�！郺=5。
由答圖2可知，當(dāng)0＜a＜5時(shí)，點(diǎn)E落在四邊形OABC的外部。
【探究】FZ[30°，2+]，F(xiàn)Z[60°，2+]。如答圖3、答圖4所示。