Question

先閱讀下列解法，再解答有關問題．
由拋物線y=x²-2mx+m²+2m-1①
配方，得y=（x-m）²+2m-1②
∴拋物線的頂點坐標為（m，2m-1）．
即x=m③
y=2m-1④
當m的值變化時，x、y的值也隨之變化，因而y的值也隨x的值的變化而變化．
將③代入④，得y=2x-1⑤
可見，不論m取任何實數，拋物線頂點的縱坐標y和橫坐標x都滿足關系式y(tǒng)=2x-1．
即拋物線的頂點在直線y=2x-1上．
解答問題：
（1）寫出一個二次函數的解析式，使它的對稱軸為直線x=1，且頂點恰好在直線y=x+2上，則這個二次函數的解析式可以寫為

 

．
（2）根據閱讀材料提供的方法，確定拋物線y=x²-2mx+m²-3m+1的頂點所在直線的解析式．
（3）求拋物線y=kx²-2kx+k-2（k≠0）的頂點坐標，并判斷此拋物線的頂點在不在（2）中頂點所在的直線上．

Answer 1

考點：二次函數的三種形式,二次函數的性質,二次函數圖象上點的坐標特征

專題：閱讀型

分析：（1）由二次函數的對稱軸為直線x=1，且頂點恰好在直線y=x+2上，可得頂點坐標為（1，3），令a=1，可寫出這個二次函數的解析式為y=（x-1）²+3；
（2）先利用配方法將一般式化為頂點式，根據閱讀材料即可求解；
（3）先將y=kx²-2kx+k-2化為頂點式，求出頂點坐標為（1，-2），再代入（2）中頂點所在的直線上即可判斷．

解答：解：（1）∵二次函數的對稱軸為直線x=1，且頂點恰好在直線y=x+2上，
∴頂點坐標為（1，3），
令a=1，
則這個二次函數的解析式可以為y=（x-1）²+3（答案不唯一）；

（2）∵y=x²-2mx+m²-3m+1=（x-m）²-3m+1，
∴拋物線的頂點坐標為（m，-3m+1），
設x=m，y=-3m+1，則拋物線的頂點所在直線的解析式為y=-3x+1；

（3）∵y=kx²-2kx+k-2=k（x²-2x+1）-2=k（x-1）²-2，
∴頂點坐標為（1，-2），
當x=1時，-3x+1=-3×1+1=-2，
∴此拋物線的頂點（1，-2）在直線y=-3x+1上．
故答案為y=（x-1）²+3．

點評：本題考查了二次函數的三種形式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，難度適中．掌握配方法是解題的關鍵．