Question

【題目】在坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)D為此拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△DAC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M，記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G．點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線MN與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出點(diǎn)N縱坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1）．

由題意可知：a=﹣1．

∴拋物線的解析式為y=﹣1（x+3）（x﹣1）即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）

解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E．

∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，

∴C（0，3）．

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+3．

∵將A（﹣3，0）代入得：﹣3k+3=0，解得：k=1，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3）．

∴DE=﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣3x．

∴△ADC的面積= DEOA= ×3×（﹣x2﹣3x）=﹣ （x+ ）2+ ．

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，△ADC的面積有最大值．

∴D（﹣ ， ）．

（3）

解：如圖2所示：

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．

∵點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴M（1，4）．

∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4，

∴點(diǎn)M在直線AC上．

∵將x=﹣1代入直線AC的解析式得：y=2，

∴N（﹣1，2）．

又∵當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，N′的坐標(biāo)為（﹣1，4）．

∴當(dāng)2＜t≤4時(shí)，直線MN與函數(shù)圖象G有公共點(diǎn)．

【解析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣1），然后將a=﹣1代入即可求得拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交AC于點(diǎn)E．先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x+3），于是得到DE的長(zhǎng)（用含x的式子表示，接下來(lái)，可得到△ADC的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，最后依據(jù)配方法可求得三角形的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2所示：先求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，可判斷出點(diǎn)M在直線AC上，從而可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)N′與拋物線的頂點(diǎn)重合時(shí)，N′的坐標(biāo)為（﹣1，4），于是可確定出t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．