如圖,已知半圓的半徑OA=1,將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心上,當(dāng)三角板繞著圓心轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),三角板的兩條直角與半圓分別交于C、D兩點(diǎn),連接AD、BC交于點(diǎn)E.
(1)求證:△ACE∽△BDE;
(2)當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)至∠AOC=30°時(shí),求AE與BE的長(zhǎng).

(1)證明:∵AB為直徑,
∴∠ACB=∠ADB=90°,
而∠CEA=∠DEB,
∴△ACE∽△BDE;

(2)解:∵∠AOC=30°,∠COD=90°,
∴∠DOB=90°-30°=60°,∠ABC=×30°=15°,
∴△ODB為等邊三角形,
∴∠DBE=60°-15°=45°,
∴△DBE為等腰直角三角形,
而OA=1,
∴AB=2,BD=1,
∴DE=1,BE=BD=,AD=BD=,
∴AE=AD-DE=-1.
即AE與BE的長(zhǎng)分別為-1,
分析:(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB=∠ADB=90°,又對(duì)頂角相等得到∠CEA=∠DEB,即可證得△ACE∽△BDE;
(2)根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=×30°=15°,而∠COD=90°,得到∠DOB=60°,則△ODB為等邊三角形,∠DBE=60°-15°=45°,由可得到△DBE為等腰直角三角形,由OA=1,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形和含30°的直角三角形三邊的關(guān)系,即可計(jì)算出AE與BE的長(zhǎng).
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理及其推論:在同圓或等圓中,一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半.同弧所對(duì)的圓周角相等;直徑所對(duì)的圓周角為直角.也考查了等腰直角三角形三邊的關(guān)系以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系.
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精英家教網(wǎng)如圖,已知半圓O的直徑AB=10,⊙O1與半圓O內(nèi)切干點(diǎn)C,與AB相切干點(diǎn)D,
(1)求證:CD平分∠ACB;
(2)若AC:CB=1:3,求△CDB的面積S△CDB;
(3)設(shè)AC:CB=x(x>0),⊙O1的半徑為y,請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示y.

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