如圖,已知矩形ABCD,AB=
3
,BC=3
,在BC上取兩點(diǎn)E,F(xiàn)(E在F左邊),精英家教網(wǎng)以EF為邊作等邊三角形PEF,使頂點(diǎn)P在AD上,PE,PF分別交AC于點(diǎn)G,H.
(1)求△PEF的邊長(zhǎng);
(2)求證:
PG
GH
=
EG
GC
;
(3)若△PEF的邊EF在線段BC上移動(dòng).試猜想:PH與BE有何數(shù)量關(guān)系?并證明你猜想的結(jié)論.
分析:(1)過(guò)P作PQ⊥BC于Q,由矩形的性質(zhì)得PQ=AB=
3
,根據(jù)等邊△PEF的高為PQ,解直角三角形求邊長(zhǎng);
(2)由已知解直角三角形得∠ACB=30°,根據(jù)∠PHG=∠CHF=∠PFE-∠ACB=30°,即∠PHG=∠ACB,又可證∠PGH=90°,利用銳角三角函數(shù)的定義得出結(jié)論;
(3)由30°的直角三角形性質(zhì)得PH=2PG=2(2-EG)=4-EC=4-(BC-BE)=4-3+BE.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)過(guò)P作PQ⊥BC于Q(1分)
∵四邊形ABCD為矩形,
∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC,
PQ=AB=
3

∵△PEF是等邊三角形,
∴∠PEQ=60°,
在Rt△PEQ中,sin60°=
3
PE
,(2分)
∴PE=2,
∴△PEF的邊長(zhǎng)為2.。1分)

(2)在Rt△ABC中,
∵tan∠ACB=
AB
BC
=
3
3
,
∴∠ACB=30°(1分)
∵∠PEQ=60°,
∴∠EGC=90°,∠PGH=90°,(1分)
又∵△PEF是等邊三角形,
∴∠GEC=∠GPH,
∴cot∠GEC=cot∠GPH,(2分)
PG
GH
=
EG
GC
,(1分)

(3)猜想:PH與BE的數(shù)量關(guān)系是:PH-BE=1(1分)
證法1:如圖,由(2),知∠1=30°
∵△PEF是等邊三角形
∴∠PFE=60°,PF=EF=2,
∵∠PFE=∠FHC+∠FCH,
在直角三角形ABC中,
∠EGC=90°,∠EPF=60°,
∴∠FHC=30°(1分)
∴∠FHC=∠FCH,
∴FC=FH(1分)
∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3(2分)
∴PH-BE=1
證法2:由(2),知∠FCH=30°,∠EGC=90°,
∴在Rt△CEG中,EG=
1
2
EC
,即EG=
1
2
(3-BE)
(2分)
∵在Rt△PGH中,∠7=30°
PG=
1
2
PH

PE=EG+PG=
1
2
(3-BE)+
1
2
PH=2
(2分)
∴PH-BE=1
證法3:可證:∠PEF=∠EPF=60°∠EGC=∠PGC=90°,
∴△EGC∽△PGH
PH
EC
=
PG
EG

PH
3-BE
=
2-EG
EG
①(2分)
∵∠ACB=∠ACB,∠B=∠EGC=90°,
∴△CEG∽△CAB,
EG
AB
=
EC
AC
,即
EG
3
=
3-BE
2
3

EG=
1
2
(3-BE)
②(2分)
把②代入①得,
PH
3-BE
=
2-
1
2
(3-BE)
1
2
(3-BE)
,
∴PH-BE=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查了等邊三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì)及解直角三角形.關(guān)鍵是根據(jù)題意作垂線,得出特殊直角三角形求解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知矩形DEFG內(nèi)接于Rt△ABC,D在AB上,E、F在BC上,G在AC上,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,S矩形DEFG=
454
,則矩形的邊長(zhǎng)DG=
 

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如圖,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)M沿AB方向從A向B以2cm/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)N從D沿DA方向以1c精英家教網(wǎng)m/秒的速度移動(dòng),如果M、N兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),移動(dòng)的時(shí)間為x秒(0≤x≤6).
(1)當(dāng)x為何值時(shí),△MAN為等腰直角三角形?
(2)當(dāng)x為何值時(shí),有△MAN∽△ABC?
(3)愛(ài)動(dòng)腦筋的小紅同學(xué)在完成了以上聯(lián)系后,對(duì)該問(wèn)題作了深入的研究,她認(rèn)為:在M、N的移動(dòng)過(guò)程中(N不與D、A重合,M不與A、B重合),以A、M、C、N為頂點(diǎn)的四邊形面積是一個(gè)常數(shù).她的這種想法對(duì)嗎?請(qǐng)說(shuō)出理由.

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如圖,已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)AB是480毫米.一質(zhì)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向,以每秒鐘10毫米的速度向精英家教網(wǎng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng).
(1)建立合適的直角坐標(biāo)系,用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(秒)表示點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)過(guò)點(diǎn)D在三角形ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形DEFG,其中EF在BC邊上,G在AC邊上.在圖中找出點(diǎn)D,使矩形DEFG是正方形(要求所表達(dá)的方式能體現(xiàn)出找點(diǎn)D的過(guò)程);
(3)過(guò)點(diǎn)D、B、C作平行四邊形,當(dāng)t為何值時(shí),由點(diǎn)C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積,并求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo).

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(2012•寧德質(zhì)檢)如圖,已知Rt△ABC,∠B=90°,AB=8,BC=6,把斜邊AC平均分成n段,以每段為對(duì)角線作邊與AB、BC平行的小矩形,則這些小矩形的面積和是(  )

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如圖,已知矩形ABCD中AB:BC=3:1,點(diǎn)A、B在x軸上,直線y=mx+n(0<m<n<
1
2
),過(guò)點(diǎn)A、C交y軸于點(diǎn)E,S△AOE=
9
8
S矩形ABCD,拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B,且頂點(diǎn)G在直線y=mx+n上,拋物線與y軸交于點(diǎn)F.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
(-3n,0)
(-3n,0)
;B的坐標(biāo)
(-n,0)
(-n,0)
(用n表示);
(2)abc=
-
4
9
-
4
9

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