Question

已知：如圖△ABC中，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于點(diǎn)B，AC交⊙O與點(diǎn)F，點(diǎn)E在AC上，且∠EBC=

1

2

∠BAC，BE交⊙O于點(diǎn)D．
（1）求證：AB=AE；
（2）若AB=10，cos∠EBC=

2 5

5

，求線段BE和BC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AD，求出∠EBC=∠BAD，推出∠BAD=∠EAD，證出△ABD≌△AED即可．
（2）根據(jù)∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=

2 5

5

求出AD，根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出答案，求出EH，BH，根據(jù)相似求出CH，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接AD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°=∠ADE，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵BC切⊙O于B，
∴∠ABD+∠EBC=90°，
∴∠EBC=∠BAD，
∵∠EBC=

1

2

∠BAC，
∴∠EAD=∠BAD，
在△ABD和△AED中

∠ADB=∠ADE AD=AD ∠BAD=∠EAD

∴△ABD≌△AED（ASA），
∴AB=AE．

（2）解：∵∠EBC=∠BAD，AB=10，cos∠EBC=

2 5

5

，
∴在Rt△BAD中，cos∠BAD=

AD

AB

=

2 5

5

，
∴AD=4

5

，
由勾股定理得：BD=2

5

，
∵△ABD≌△AED，
∴BD=DE，
∴BE=2BD=4

5

，
過E作EH⊥BC于H，
則EH∥AB，
∵cos∠EBC=

2 5

5

，BE=4

5

，
∴BH=BE•cos∠EBC=8，
由勾股定理得：EH=

(4 5 )2-82

=4，
∵EH∥AB，
∴△CHE∽△CBA，
∴

EH

AB

=

CH

CH+BH

∴

4

10

=

CH

CH+8

，
∴CH=5

1

3

，
∴BC=8+5

1

3

=13

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．