Question

如圖①，矩形ABCD被對角線AC分為兩個直角三角形，AB=4，BC=8，現將Rt△ADC繞點C順時針旋轉，點A旋轉后的位置為點M，點D旋轉后的位置為點N，以C為原點，以BC所在直線為x軸，以過點C垂直于BC的直線為y軸，建立如圖②的平面直角坐標系．

（1）求直線AM的解析式；
（2）將Rt△MNC沿軸的負方向平行移動，如圖③，設OC=x（0＜x≤12），Rt△MNC與Rt△ABO的重疊部分面積為S；
①當x=2，與x=10時，求S的值；
②求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質，求出A（-8，4），M（4，8）的坐標，再根據待定系數法求出一次函數解析式；
（2）①當x=2時，如圖1，重疊部分為△POC，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方進行解答；②當x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，根據梯形的面積公式解答；
②通過圖形的面積公式和相似三角形的性質分段進行計算從當0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤10及10＜x≤12四個不同的取值范圍表示出S就可以求出結論．

解答：解：（1）AB=4，BC=8，根據旋轉的性質可得：
A（-8，4），M（4，8），
設函數解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（-8，4），M（4，8）分別代入解析式得：

-8k+b=4 4k+b=8

，
解得：

k= 1 3 b= 20 3

，
則直線AM解析式為y=

1

3

x+

20

3

；

（2）①當x=2時，如圖1，重疊部分為△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，且S_△AOB=

1

2

AB•OB=16，OC=2，OA=

AB2+OB2

=4

5

，
∴

S

S△AOB

=（

OC

OA

）²，即

S

16

=（

2

4 5

）²=

1

40

，
解得：S=

4

5

；
②當x=10時，如圖2，重疊部分為梯形NQAB，
可得：ON=OC-CN=10-4=6，BN=OB-ON=8-6=2，
又∵△ONQ∽△OBA，
∴

NQ

AB

=

ON

OB

，即

NQ

4

=

6

8

，
∴NQ=3，
∴S=

1

2

（QN+AB）•BN=

1

2

×（3+4）×2=7；
（3）如圖所示：
①如圖1，當0＜x≤4時，
S=S_△POC，
∵Rt△POC∽Rt△BOA，
∴

S

S△AOB

=(

OC

OA

)2，
∴

S

16

=(

x

4 5

)2，
S=

x2

5

，
②如圖5，當4＜x≤8時，
S=S_△POC-S_△NHO，
S=

x2

5

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

=-

1

20

x2+2x-4，
③如圖4，當8＜x≤10時，
S=S_△FCO-S_△BCG-S_△ENO，
=

x2

5

-

2(x-8)(x-8)

2

-

1 2 (x-4)(x-4)

2

，
=-

21

20

x²+18x-68
④如圖2，10＜x≤12時，
CO=x，NO=x-4，NQ=

1

2

（x-4），BN=12-x
∴S=_{S四邊形ABNQ}
=

[ 1 2 (x-4)+4](12-x)

2

，
=-

1

4

x²+2x+12．
∴S與x的函數關系式為：S=

x2 5 (0＜x≤4) - 1 20 x2+2x-4(4＜x≤8) - 21 20 x2+18x-68(8＜x≤10) - 1 4 x2+2x+12(10＜x≤12)

．

點評：本題考查了一次函數的綜合問題，涉及動點問題及二次函數的最值、三角形的面積及梯形面積的計算，相似三角形的判定及性質的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，綜合性較強，靈活運用相似三角形的性質是關鍵．