已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=-2x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(-3,0)和點B(0,6).
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)將這個二次函數(shù)的圖象向右平移5個單位后的頂點設(shè)為C,直線BC與x軸相交于點D,求∠ABD的正弦值;
(3)在第(2)小題的條件下,聯(lián)結(jié)OC,試探究直線AB與OC的位置關(guān)系,并說明理由.
(1)由題意得,
-2×9-3b+c=0
c=6
,
解得
b=-4
c=6
,
所以,此二次函數(shù)的解析式為y=-2x2-4x+6;

(2)∵y=-2x2-4x+6=-2(x+1)2+8,
∴函數(shù)y=2x2-4x+6的頂點坐標(biāo)為(-1,8),
∴向右平移5個單位的后的頂點C(4,8),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
b=6
4k+b=8
,
解得
k=
1
2
b=6
,
所以,直線BC的解析式為y=
1
2
x+6,
令y=0,則
1
2
x+6=0,
解得x=-12,
∴點D的坐標(biāo)為(-12,0),
過點A作AH⊥BD于H,
OD=12,BD=
OB2+OD2
=
62+122
=6
5
,
AD=-3-(-12)=-3+12=9,
∵∠ADH=∠BDO,∠AHD=∠BOD=90°,
∴△ADH△BDO,
AH
OB
=
AD
BD
,
AH
6
=
9
6
5

解得AH=
9
5
5
,
∵AB=
OA2+OB2
=
32+62
=3
5
,
∴sin∠ABD=
AH
AB
=
9
5
5
3
5
=
3
5
;

(3)ABOC.
理由如下:方法一:∵BD=6
5
,BC=
(4-0)2+(8-6)2
=2
5
,AD=9,AO=3,
BD
BC
=
AD
AO
=3,
∴ABOC;
方法二:過點C作CP⊥x軸于P,
由題意得,CP=8,PO=4,AO=3,BO=6,
∴tan∠COP=
CP
OP
=
8
4
=2,
tan∠BAO=
OB
OA
=
6
3
=2,
∴tan∠COP=tan∠BAO,
∴∠BAO=∠COP,
∴ABOC.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸都只有一個交點,分別為A、B且AB=2,又關(guān)于x的方程x2-(b+2ac)x+m=0(m<0)的兩個實數(shù)根互為相反數(shù).
(1)求ac的值;
(2)求二次函數(shù)的解析式;
(3)過A點的直線與二次函數(shù)圖象相交于另一個點C,與y軸的負(fù)半軸相交于點D,且使△ABD和△ABC的面積相等,求此直線的解析式并求△ABC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖已知二次函數(shù)圖象的頂點為原點,直線y=
1
2
x+4
的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A點(8,8),直線與x軸的交點為C,與y軸的交點為B.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式與B點坐標(biāo);
(2)P為線段AB上的一個動點(點P與A,B不重合),過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于D點,與x軸交于點E.設(shè)線段PD的長為h,點P的橫坐標(biāo)為t,求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,在線段AB上是否存在點P,使得以點P、D、B為頂點的三角形與△BOC相似?若存在,請求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

兩塊完全相同的直角三角板ABC和DEF如圖1所示放置,點C、F重合,且BC、DF在一條直線上,其中AC=DF=4,BC=EF=3.固定Rt△ABC不動,讓Rt△DEF沿CB向左平移,直到點F和點B重合為止.設(shè)FC=x,兩個三角形重疊陰影部分的面積為y.
(1)如圖2,求當(dāng)x=
1
2
時,y的值是多少?
(2)如圖3,當(dāng)點E移動到AB上時,求x、y的值;
(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知:如圖,△ABC是邊長3cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動,它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點P到達(dá)點B時,P、Q兩點停止運動.設(shè)點P的運動時間為t(s),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,△PBQ是直角三角形?
(2)設(shè)四邊形APQC的面積為y(cm2),求y與t的關(guān)系式;是否存在某一時刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出相應(yīng)的t值;不存在,說明理由;
(3)設(shè)PQ的長為x(cm),試確定y與x之間的關(guān)系式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3.M是邊AB上的動點(M不與A,B重合),MNBC交AC于點N,△AMN關(guān)于MN的對稱圖形是△PMN.設(shè)AM=x.
(1)用含x的式子表示△AMN的面積(不必寫出過程);
(2)當(dāng)x為何值時,點P恰好落在邊BC上;
(3)在動點M的運動過程中,記△PMN與梯形MBCN重疊部分的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;并求x為何值時,重疊部分的面積最大,最大面積是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示,工人師傅要用長2米寬10厘米的塑鋼條作窗戶內(nèi)的橫、縱梁(沒有余料)要使窗戶內(nèi)的透光部分面積最大,問窗戶的兩邊長分別為多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

問題情境
已知矩形的面積為a(a為常數(shù),a>0),當(dāng)該矩形的長為多少時,它的周長最小?最小值是多少?
數(shù)學(xué)模型
設(shè)該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=2(x+
a
x
)(x>0)

探索研究
(1)我們可以借鑒學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,先探索函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)
的圖象性質(zhì).
1填寫下表,畫出函數(shù)的圖象:
x
1
4
1
3
1
2
1234
y
②觀察圖象,寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì);
③在求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值時,除了通過觀察圖象,除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.同樣通過配方也可以求函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)的最小值.y=x+
1
x
=(
x
)2+(
1
x
)2
=(
x
)2+(
1
x
)2-2
x
1
x
+2
x
1
x

=(
x
-
1
x
)2+2
≥2
當(dāng)
x
-
1
x
=0,即x=1時,函數(shù)y=x+
1
x
(x>0)的最小值為2.
解決問題
(2)解決“問題情境”中的問題,直接寫出答案.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知等腰直角三角形的斜邊長為x,面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系式為______.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案