Question

如圖，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一動點（包括點A、點C），點E在直線BC上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）連接DE，求證：△DPE為等腰直角三角形；
（3）若AB=2

2

，點P在AC上運動過程中，求出△DPE面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，然后利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠CDP=∠CBP，根據(jù)等邊對等角可得∠CBP=∠E，從而得到∠CDP=∠E，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DPE=∠DCE=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義證明即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質列式表示出△DPE面積，然后判斷出點P與點A或C重合時，面積最大，點P與正方形的中心重合是面積最小，然后求解即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC=CD ∠ACB=∠ACD CP=CP

，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）證明：∵△BCP≌△DCP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴△DPE為等腰直角三角形；

（3）解：∵△DPE為等腰直角三角形，
∴△DPE面積=

1

2

DP²，
∴點P與點A或C重合時，面積最大，點P與正方形的中心重合是面積最小，
∵AB=2

2

，
∴△DPE面積的最大值=

1

2

×（2

2

）²=4，
最小值=

1

2

×（

2

2

×2

2

）²=2．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等邊對等角的性質，等腰直角三角形的判斷與性質，難點在于（3）判斷出△DPE的面積最大和最小時點P的位置．