Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意三點(diǎn)A，B，C，定義“外延矩形”：若矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，且點(diǎn)A，B，C在該矩形的內(nèi)部或邊界上．則該矩形稱為A，B，C的“外延矩形”．
我們把點(diǎn)A，B，C的所有的“外延矩形”中，面積最小的稱為點(diǎn)A，B，C的“最佳外延矩形”．
（Ⅰ）已知點(diǎn)A（-2，0），B（4，3），C（0，t）．
①若t=2，則點(diǎn)A，B，C的“最佳外延矩形”的面積為18；
②若點(diǎn)A，B，C的“最佳外延矩形”的面積為24，請(qǐng)直接寫出t的值．
（Ⅱ）已知M（0，8），N（6，0），點(diǎn)P（x，y）是拋物線y=x²-4x+3上一點(diǎn)，求點(diǎn)M，N，P的“最佳外延矩形”面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．
（Ⅲ）已知D（1，1），點(diǎn)E（m，n）是函數(shù)$y=\frac{4}{x}$的圖象上一點(diǎn)，求點(diǎn)O，D，E的“最佳外延矩形”面積的最小值，以及此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①利用最佳外延矩形的定義求解即可，②利用最佳外延矩形的定義求解即可；
（Ⅱ）先求出M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小，利用拋物線求出與y軸及矩形的交點(diǎn)即可求出點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍；
（Ⅲ）求出過(guò)D垂直x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)E₁，矩形OFE₁G是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得E坐標(biāo)，可得點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形的面積；求出過(guò)D垂直y軸的直線交雙曲線于點(diǎn)E₂，矩形OAE₂B是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得E坐標(biāo)，可得點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形的面積；根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)雙曲線上的點(diǎn)作x軸y軸的垂線所得的矩形面積都是4，可得答案．

解答 解：（1）①如圖1，

∵A（-2，0），B（4，3），C（0，2）．
∴點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為[4-（-2）]×3=18．
故答案為：18．
②如圖2，

∵點(diǎn)A，B，C的最佳外延矩形的面積為24，
∴A（-2，0），B（4，3），C（0，4）或A（-2，0），B（4，3），C（0，-1）．
∴t=4或t=-1；        
故答案為：4或-1；
（2）如圖3，
過(guò)M點(diǎn)作x軸的垂線與過(guò)N點(diǎn)垂直于y軸的直線交于點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P位于矩形OMQN內(nèi)部或邊界時(shí)，矩形OMQN是點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形，且面積最小．
∵S_矩形OMQN=OM•ON=6×8=48，
∴點(diǎn)M，N，P的最佳外延矩形面積的最小值為48．
拋物線y=x²-4x+3與y軸交于點(diǎn)T（0，3）．
令y=0，有x²-4x+3=0，
解得  x=1，或x=3．
令y=8，有=x²-4x+3=8，
解得  x=-1（舍），或x=5．
∴0≤x≤1，或3≤x≤5；
（Ⅲ）如圖4，
矩形OFE₁G是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，S${\;}_{矩形OF{E}_{1}G}$=OF×OG=4，
矩形OAE₂B是點(diǎn)O，D，E的一個(gè)面積最小的最佳外延矩形，
S${\;}_{矩形OA{E}_{2}B}$=OA×OB=4，以雙曲線上的點(diǎn)作x軸y軸的垂線所得的矩形面積都是4，
點(diǎn)O，D，E的“最佳外延矩形”面積的最小值是4，此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)m的取值范圍1≤m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，正方形及長(zhǎng)方形的面積及雙曲線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是最佳外延矩形的定義．