Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，BC=2，∠A=90°．（如圖1）
（1）試求∠C的度數(shù)；
（2）若E、F分別為邊AD、CD上的兩個動點（不與端點A、D、C重合），且始終保持∠EBF=45°，BD與EF交于點P．（如圖2）
①求證：△BDE∽△BCF；
②試判斷△BEF的形狀（從邊、角兩個方面考慮），并加以說明；
③設AE=x，DP=y，試求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析：（1）要求∠C的度數(shù)，只需要將直角梯形轉化為矩形和一個直角三角形就可以解決；
（2）①根據兩角對應相等的兩三角形相似很容易得出結論．
②是一個結論猜想試題，根據條件易得出△BEF∽△BDC，從而得出△BEF為等腰直角三角形．
③要求函數(shù)的解析式需要多次利用三角形相似轉化AE與DP的關系，從而將y用含x的代數(shù)式代換出來．

解答：解：（1）作DE⊥BC，垂足為E，
在四邊形ABHD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠A=90°，
則四邊形ABHD為正方形，
又在△CDH中，∠DHC=90°，DH=AB=1，CH=BC-BH=1，
∴∠C=

180°-∠DHC

2

=45°．

（2）①∵四邊形ABHD為正方形，
∴∠CBD=45°，∠ADB=45°，
又∵∠EBF=45°，
∴∠DBE=∠CBF
又∵∠BDE=∠C=45°，
∴△BDE∽△BCF．

②△BEF是等腰直角三角形，
∵△BDE∽△BCF，
∴

BE

BD

=

FB

CB

，
又∵∠EBF=∠DBC=45°，
∴△EBF∽△DBC，
又在△DBC中，∠DBC=∠C=45°，為等腰直角三角形，
∴△BEF是等腰直角三角形．
③延長EF交BC的延長線于點Q，

易知BD=CD=

2

，
∵△BDE∽△BCF，
∴

DE

CF

=

DB

CB

=

1

2

，
則DE=1-x，CF=

2

-

2

x，
∴DF=CD-CF=

2

x，
又∵

CQ

DE

=

CF

DF

=

1-x

x

，
∴CQ=

1-2x+x2

x

，
∵

DP

BP

=

DE

BQ

=

x-x2

1+x2

，
∴

y

2 -y

=

x-x2

1+x

y=

2 x- 2 x2

1+x

，（0＜x＜1）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形性質，矩形的性質，直角梯形的性質及輔助線的作法，還滲透了函數(shù)的解析式．難度大綜合性強．