Question

18、證明：有無(wú)窮多個(gè)n，使多項(xiàng)式n²+n+41
（1）表示合數(shù)；
（2）為43的倍數(shù)．

Answer 1

分析：（1）先把原式化為n（n+1）+41的形式，再設(shè)n=41k或n=41k-1，代入代數(shù)式即可得到關(guān)于k的式子，由合數(shù)的定義即可解答；
（2）設(shè)n²+n+41=43k，（k是正整數(shù)），再把方程左邊因式分解，由合數(shù)的定義即可解答．

解答：證明：（1）要使n（n+1）+41是合數(shù)．
則只要n（n+1）是41的倍數(shù)就可以．
要使n（n+1）是41的倍數(shù)，則n=41k或n=41k-1，
當(dāng)n=41k（k為自然數(shù)）時(shí)，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
同理，當(dāng)n=41k-1時(shí)，原式=41k²+41k++41=41（k²+k+1），
滿足此條件的自然數(shù)k有無(wú)數(shù)個(gè)，所以對(duì)應(yīng)的n也有無(wú)窮多個(gè)；
（2）使多項(xiàng)式n²+n+41為43的倍數(shù)，
設(shè)n²+n+41=43k，（k是正整數(shù)）
n²+n-2=43（k-1），
（n+2）（n-1）=43（k-1），
要使n（n+1）+41是43的倍數(shù)，
則只要（n+2）（n-1）是43的倍數(shù)就可以．
則n=43k-2或n=43k+1（k=0、1、2、3…），
當(dāng)n=43k-2時(shí)，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
同理可得，當(dāng)n=43k+1時(shí)，原式=（43k）²+3×43k+43=43（k²+3k+1），
滿足此條件的k有無(wú)窮多個(gè)，
故表示為43的倍數(shù)的n也有無(wú)窮多個(gè)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是質(zhì)數(shù)與合數(shù)，熟知合數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．