Question

（2013•定海區(qū)模擬）如圖，已知Rt△ABC中，AC=b，BC=a，D₁是斜邊AB的中點，過D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，連結(jié)BE₁交CD₁于D₂；過D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，連結(jié)BE₂交CD₁于D₃；過D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此繼續(xù)，可以依次得到點D₄，D₅，…，D_n，分別記△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面積為S₁，S₂，S₃，…S_n．則S_n為（　　）

• A．

  ab

  2(n+1)2

• B．

  ab

  (n+1)2

• C．

  ab

  n2

• D．

  ab

  8n

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，利用在△ACB中，D₂為其重心可得D₂E₁=

1

3

BE₁，然后從中找出規(guī)律即可解答．

解答：解：∵D₁E₁⊥AC，BC⊥AC，
∴D₁E₁∥BC，
∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高，面積相等，以此類推；
根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)可知：D₁E₁=

1

2

BC，CE₁=

1

2

AC，S₁=

1

22

S_△ABC；
∴在△ACB中，D₂為其重心，
∴D₂E₁=

1

3

BE₁，
∴D₂E₂=

1

3

BC，CE₂=

1

3

AC，S₂=

1

32

S_△ABC，
∵D₂E₂：D₁E₁=2：3，D₁E₁：BC=1：2，
∴BC：D₂E₂=2D₁E₁：

2

3

D₁E₁=3，
∴CD₃：CD₂=D₃E₃：D₂E₂=CE₃：CE₂=3：4，
∴D₃E₃=

3

4

D₂E₂=

3

4

×

1

3

BC=

1

4

BC，CE₃=

3

4

CE₂=

3

4

×

1

3

AC=

1

4

AC，S₃=

1

42

S_△ABC…；
∴S_n=

1

(n+1)2

S_△ABC=

1

(n+1)2

×

1

2

ab=

ab

2(n+1)2

．
故選A．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形的重心等知識，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)得到第一個三角形的面積與原三角形的面積的規(guī)律．也考查了重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點到頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍．