Question

無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，對(duì)于直線都會(huì)經(jīng)過(guò)一個(gè)固定的點(diǎn)，我們就稱直線恒過(guò)定點(diǎn).

（1）無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)，直接寫出定點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)，且∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，求邊BC所在直線的表達(dá)式；

（3）求△ABC內(nèi)切圓的半徑.

 

 

Answer 1

（1）（0,2）或（3，）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將變形為，只要的系數(shù)為0，即有無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過(guò)定點(diǎn).

（2）根據(jù)角平分線的軸對(duì)稱性質(zhì)，求出點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)和關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由該兩點(diǎn)在直線BC上，應(yīng)用待定系數(shù)法求解即可.

（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，y軸和直線的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心，從而應(yīng)用面積公式即可求解.

試題解析：（1）∵可變形為，

∴當(dāng)，即或時(shí)，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，拋物線恒過(guò)定點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

∴A（0,2）或（3，）.

（2）∵△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是（1）中的定點(diǎn)，

∴A（3，）.

∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，

∴點(diǎn)B、點(diǎn)C在點(diǎn)A關(guān)于y軸、直線的對(duì)稱點(diǎn)所確定的直線上.

如圖，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).

直線DE與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)B，與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)C. 連接AB，AC.

設(shè)直線BC的表達(dá)式為.

則有，解之，得.

所以，.

（3） ∵∠B，∠C的角平分線分別是y軸和直線，

∴y軸和直線的交點(diǎn)O即為△ABC內(nèi)切圓的圓心.

過(guò)點(diǎn)O作OF于F，則OF即為△ABC內(nèi)切圓的半徑.

設(shè)BC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)G，易知 , .

∴.

∵,

∴，即△ABC內(nèi)切圓的半徑為.

考點(diǎn)：1.函數(shù)和平面幾何綜合題；2. 角平分線的性質(zhì)；3.待定系數(shù)法的應(yīng)用；4.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；5.三角形的內(nèi)切圓；6.勾股定理；7.三角形面積公式.