Question

【題目】在中，已知， ，于點，點在直線上，，點在線段上，是的中點，直線與直線交于點．

(1)如圖，若點在線段上，線段和之間的數量關系是 ，位置關系是 ；

(2)在(1)的條件下，當點在線段上，且時，求證：；

(3)當點在線段的延長線上時，在線段上是否存在點，使得？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）存在，，理由見解析

【解析】

（1）通過證△AEC≌△CMB，得到AE=CM并得到∠ACM+∠BCM=90°，進而推導出AE⊥CM；

（2）如圖1，在Rt△ABC中，求得AB=12，再通過勾股定理及中位線定理，可得到FM=FG=5；

（3）將繞點逆時針旋轉90°得，構造全等△三角形（），再證，最后在Rt△PBF中利用勾股定理得求GF，進而求得AF.

(1) 如圖1，延長交于點H．

∵， ，于點，

∴，．

∵是的中點，∴．∴

∴．

在和中，

∴（）．

∴，．∵

∴．

∴，∴．

（2）解:如圖1，過點作，且，連接CG，，延長交于點H．

∵，，

∴，．

∴．

∵，．

∵是的中點，∴，∴，

∵，∴， ，

∴．

∵，

∴．

∴．

在和△BCM中

∴，

∴．

由(1)，知， ∴，

∴．

(3)解：存在．．理由如下:

方法一:如圖2，取中點，連接CG并延長交于點H，將繞點逆時針旋轉90°得，連接，則．可證，∴．

∵，

∴，

∴．

∴．

∴．

由旋轉，知，∴，

∴．

又∵，，∴，

∴．

設，則，．

在Rt△PBF中， ，解得．

∴．

方法二:如圖3，作于點H．

∴．

∵，∴．

∴．

∵，，

∴，

．

∵，

∴．

∵，∴DE=3．

在Rt△ADE中，由勾股定理，得，

∵，∴．

∵，∴．

∴，

∴，即，解得．

設，則．

在中，由勾股定理，得

．

∵，，

∴，

∴，即，

解得，（舍去）．

∴．∴．