Question

如圖，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直線BE、DG交于H，且HE•HB=4-2

2

，BD、AF交于M，當(dāng)E在線段CD（不與C、D重合）上運動時，下列四個結(jié)論：①BE⊥GD；②AF、GD所夾的銳角為45°；③GD=

2

AM；④若BE平分∠DBC，則正方形ABCD的面積為4．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①由已知條件可證得△BEC≌△DGC，∠EBC=∠CDG，因為∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，所以∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；
②若以BD為直徑作圓，那么此圓必經(jīng)過A、B、C、H、D五點，根據(jù)圓周角定理即可得到∠AHD=45°，所以②的結(jié)論也是正確的．
③此題要通過相似三角形來解；由②的五點共圓，可得∠BAH=∠BDH，而∠ABD=∠DBG=45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根據(jù)相似三角形的比例線段即可得到AM、DG的比例關(guān)系；
④若BE平分∠DBC，那么H是DG的中點；易證得△ABH∽△BCE，得BD•BC=BE•BH，即

2

BC²=BE•BH，因此只需求出BE•BH的值即可得到正方形的面積，可先求出BE、EH的比例關(guān)系，代入已知的乘積式中，即可求得BE•BH的值，由此得解．

解答：解：①正確，證明如下：
∵BC=DC，CE=CG，∠BCE=∠DCG=90°，
∴△BEC≌△DGC，∴∠EBC=∠CDG，
∵∠BDC+∠DBH+∠EBC=90°，
∴∠BDC+∠DBH+∠CDG=90°，即BE⊥GD，故①正確；

②由于∠BAD、∠BCD、∠BHD都是直角，因此A、B、C、D、H五點都在以BD為直徑的圓上；
由圓周角定理知：∠DHA=∠ABD=45°，故②正確；

③由②知：A、B、C、D、H五點共圓，則∠BAH=∠BDH；
又∵∠ABD=∠DBG=45°，
∴△ABM∽△DBG，得AM：DG=AB：BD=1：

2

，即DG=

2

AM；
故③正確；

④過H作HN⊥CD于N，連接EG；
若BH平分∠DBG，且BH⊥DG，已知：BH垂直平分DG；
得DE=EG，H是DG中點，HN為△DCG的中位線；
設(shè)CG=x，則：HN=

1

2

x，EG=DE=

2

x，DC=BC=（

2

+1）x；
∵HN⊥CD，BC⊥CD，∴HN∥BC，
∴∠NHB=∠EBC，∠ENH=∠ECB，
∴△BEC∽△HEN，則BE：EH=BC：HN=2

2

+2，即EH=

BE

2 2 +2

；
∴HE•BH=BH•

BE

2 2 +2

=4-2

2

，即BE•BH=4

2

；
∵∠DBH=∠CBE，且∠BHD=∠BCE=90°，
∴△DBH∽△EBC，得：DB•BC=BE•BH=4

2

，
即

2

BC²=4

2

，得：BC²=4，即正方形ABCD的面積為4；
故④正確；
因此四個結(jié)論都正確，故選D．

點評：本題主要考查三角形相似和全等的判定及性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及圓周角定理等知識的綜合應(yīng)用，能夠判斷出A、B、C、D、H五點共圓是解題的關(guān)鍵．