Question

如圖：割線ABC過圓心O點，且D是

BE

中點，若AB=BO，CE=18，則DE=

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：設(shè)⊙O的半徑為R，連接OE，BE，OD，OD交BE于F．先由圓周角定理得出CE⊥BE，由垂徑定理的推論得出OD⊥BE，則OD∥CE，從而得出△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出R=12，OF=9，則DF=OD-OF=12-9=3．再由EF⊥OD，根據(jù)勾股定理得出DE²-DF²=EF²=OE²-OF²，將數(shù)值代入計算即可求出DE的長．

解答：解：如圖，設(shè)⊙O的半徑為R，連接OE，BE，OD，OD交BE于F．
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BEC=90°，CE⊥BE，
∵D是

BE

中點，
∴OD⊥BE，
∴OD∥CE，
∴△AOD∽△ACE，△BOF∽△BCE，
∴

OD

CE

=

AO

AC

，

OF

CE

=

BO

BC

，
即

R

18

=

2R

3R

，

OF

18

=

R

2R

，
解得R=12，OF=9，
∴DF=OD-OF=12-9=3．
∵EF⊥OD，
∴DE²-DF²=EF²=OE²-OF²，
∴DE²-3²=12²-9²，
解得DE=6

2

（負(fù)值舍去）．
故答案為6

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，綜合性較強，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．