Question

【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3， 0）,F（8， 0）,B（0， 4）三點(diǎn).

（1）求拋物線解析式及對(duì)稱軸.

（2）若點(diǎn)D在線段FB上運(yùn)動(dòng)（不與F,B重合），過點(diǎn)D作DC⊥軸于點(diǎn)C（x, 0），將△FCD沿CD向左翻折，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E, △CDE與△FBO重疊部分面積為S.

①試求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量取值范圍.

②是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△BDE為直角三角形，若存在，求出C點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）拋物線對(duì)稱軸上有一點(diǎn)M,平面內(nèi)有一點(diǎn)N,若以A,B,M,N四點(diǎn)組成的四邊形為菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）, 對(duì)稱軸;(2) ①;②存在, 或; (3) .

【解析】試題分析:(1)利用待定系數(shù)法即可求出;(2) ①C點(diǎn)的位置應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)C在OF的中點(diǎn)或在中點(diǎn)與F之間時(shí)，重合部分是△CDE；當(dāng)C在OF的中點(diǎn)與O之間時(shí)，重合部分是梯形，就可以得到函數(shù)解析式．②分△BDE以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)和△BDE以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，兩種情況進(jìn)行討論．根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，求出OE的長(zhǎng)，就可以得到C點(diǎn)的坐標(biāo);(3)①AB為邊，②AB為對(duì)角線,分兩種情況分析討論就能得到答案.

試題解析:

（1）設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x-8),把(0,4)代入得4=a×3×(-8),解得,

∴

此時(shí),拋物線的對(duì)稱軸為:直線

（2）①

②當(dāng)∠BED=90°時(shí)，△BOE∽△ECD

∴,,

∴EO=2

∴EC=3

∴

當(dāng)∠EBD=90°時(shí)，△EOB∽△BOF

∴EO=2，

∴EC=(2+8)/2,

∴

(3)①以AB為邊，以B為圓心，AB為半徑畫圓交對(duì)稱軸于兩點(diǎn)，

,

由平移至得,

,,

以A為圓心，AB為半徑畫圓，此時(shí)與對(duì)稱軸沒有交點(diǎn)，

故不存在.

②AB為對(duì)角線，直線AB的解析式為： ，

則AB的中垂線MN的解析式為： ,

當(dāng)時(shí) ，y=-1

∴,.

綜上所述： ， ， .

點(diǎn)睛:此題綜合考查了相似綜合題,其中涉及到了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)最值的求法，相似三角形的判定與性質(zhì)以及多邊形面積的求法等知識(shí)點(diǎn). 解答此類關(guān)于函數(shù)的綜合性應(yīng)用題要善于設(shè)點(diǎn)，然后利用點(diǎn)與直線的關(guān)系或者點(diǎn)與其他函數(shù)的關(guān)系，然后把題中所有可能用到的點(diǎn)用只含一個(gè)未知數(shù)的方程表達(dá)出來.此題難度較大，注意掌握函數(shù)思想、分類討論思想與樹形結(jié)合思想的應(yīng)用.