Question

實際問題：某學(xué)校共有18個教學(xué)班，每班的學(xué)生數(shù)都是40人．為了解學(xué)生課余時間上網(wǎng)情況，學(xué)校打算做一次抽樣調(diào)查，如果要確保全校抽取出來的學(xué)生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學(xué)生？

建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型：

在不透明的口袋中裝有紅、黃、白三種顏色的小球各20個(除顏色外完全相同)，現(xiàn)要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：

(1)我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？

假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現(xiàn)多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1＋3＝4(如圖①)；

(2)若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？

我們只需在(1)的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1＋3×2＝7(如圖②)

(3)若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？

我們只需在(2)的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1＋3×3＝10(如圖③)：

……

(10)若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？

我們只需在(9)的基礎(chǔ)上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數(shù)是：1＋3×(10－1)＝28(如圖⑩)

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅、黃、白、藍、綠五種顏色的小球各20個(除顏色外完全相同)，現(xiàn)從袋中隨機摸球：

(1)若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是________；

(2)若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是________；

(3)若要確保摸出的小球至少有n個同色(n＜20)，則最少需摸出小球的個數(shù)是________．

模型拓展二：在不透明口袋中裝有m種顏色的小球各20個(除顏色外完全相同)，現(xiàn)從袋中隨機摸球：

(1)若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數(shù)是________．

(2)若要確保摸出的小球至少有n個同色(n＜20)，則最少需摸出小球的個數(shù)是________．

問題解決：(1)請把本題中的“實際問題”轉(zhuǎn)化為一個從口袋中摸球的數(shù)學(xué)模型；

(2)根據(jù)(1)中建立的數(shù)學(xué)模型，求出全校最少需抽取多少名學(xué)生．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)6；　1分 　　(2)11　2分 　　(3)1＋5(n－1)＝5n－4(個)　3分 　　(1)1＋m　4分 　　(2)1＋m(n－1)＝mn－m＋1(個)　6分 　　問題解決：(1)在不透明口袋中裝有18種顏色的小球各40個(除顏色外完全相同)，現(xiàn)從袋中隨機摸球，要確保摸出的球至少有10人顏色相同，則最少需摸出小球的個數(shù)是多少？　8分 　　(2)答：全校最少需抽取163名學(xué)生．　10分 　　1＋18(10－1)＝163(名)