Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直徑，AD與BC交于點E，F(xiàn)在DA的延長線上，且BF=BE．
（1）試判斷BF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若BF=6，∠C=30°，求陰影的面積．

Answer 1

（1）解：BF與⊙O的位置關(guān)系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都對弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直徑，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已證），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O的切線，
即BF與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）解：連接OA，
∵∠C=∠D=30°=∠FBA，
∴在Rt△ABF中，BF=6，AF=BF=3，
由勾股定理得AB=3，
在Rt△DBA中，∠D=30°，
∴BD=2AB=6，OB=3，∠BOA=2∠C=60°，
∵在Rt△ABD中，BD=6，AB=3，由勾股定理得：AD=9，
又∵BO=OD，
∴根據(jù)等底同高的三角形的面積相等得出S_△BOA=S_△AOD=S_△ABD=××3×9=，
∠BOA=2∠C=60°，
∴S_陰影=S_扇形OBA-S_△OAB=-=-．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠FBA=∠EBA=∠C，推出∠D=∠C=∠FBA，根據(jù)∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°，求出∠ABD+∠FBA=90°，根據(jù)切線的判定推出即可．
（2）連接OA，求出∠BOA=60°，求出AB長，求出BD、AD，求出OB，根據(jù)三角形的面積求出△ABD面積，即可求出△BAO面積，求出扇形BOA面積，即可求出答案．
點評：本題考查了三角形面積，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，扇形面積，圓周角定理等知識點的綜合運用．