Question

將正方形ABCD繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜90），得正方形AB₁C₁D₁，B₁C₁交CD于點(diǎn)E．
（1）求證：B₁E=DE；
（2）簡要說明四邊形AB₁ED存在一個(gè)內(nèi)切圓；
（3）若n=30（度），AB=

3

，求四邊形AB₁ED內(nèi)切圓的半徑r．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形全等的性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及由四邊形有內(nèi)切圓時(shí)應(yīng)滿足的條件，可判斷出四邊形AB₁ED存在一個(gè)內(nèi)切圓．
（3）由（2）可知，四邊形AB₁ED存在一個(gè)內(nèi)切圓，所以此圓的圓心一定在四個(gè)角平分線的交點(diǎn)上，作∠DAF與∠AB₁G的角平分線交于點(diǎn)O，則O即為該圓的圓心，過O作OF⊥AB₁，n=30°，AB=

3

，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)便可求出OF的長，即該四邊形內(nèi)切圓的圓心．

解答：解：（1）連接AE，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知在AD=AB₁，
Rt△AED與Rt△AEB₁中，AE=AE，AD=AB₁，
∴Rt△AED≌Rt△AEB₁，
故B₁E=DE．

（2）由（1）可知，Rt△AED≌Rt△AEB₁，
∴EB₁+AD=ED+AB₁，
故四邊形AB₁ED存在一個(gè)內(nèi)切圓．

（3）作∠DAF與∠AB₁G的角平分線交于點(diǎn)O，過O作OF⊥AB₁，
則∠OAF=n=30°，∠AB₁O=45°，
故B₁F=OF=

1

2

OA，
設(shè)B₁F=x，則AF=

3

-x，
故（

3

-x）²+x²=（2x）²，
解得x=

- 3 +3

2

或x=

- 3 -3

2

（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及園內(nèi)切四邊形成立的條件及性質(zhì)，要熟練掌握正方形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，是解答此題的關(guān)鍵．