Question

已知正方形ABCD的邊長為4cm，E為AB上一點，AE=3cm，連接EC，MN⊥EC分別交AD、BC于點M、N，則MN的長為________．

Answer 1

cm
分析：過M作MG⊥BC于G，過E作EH⊥DC于H，得出矩形MGCD和矩形EHDA，推出EH=MG，求出∠MGN=∠EHC=90°，∠GMN=∠HEC，根據(jù)ASA證△EHC≌△MGN，推出CE=MN，根據(jù)勾股定理求出EC即可．
解答：
過M作MG⊥BC于G，過E作EH⊥DC于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=∠DCA=90°=∠MGC，
∴四邊形MGCD是矩形，
∴MG=DC，
同理EH=AD，
∴MG=EH，
∵MG⊥BC，EH⊥DC，
∴∠EHC=∠MGN=90°，
∵MN⊥CE，
∴∠NTC=90°=∠DCB，
∴∠MNG+∠GMN=90°，∠HCE+∠NCT=90°，
∴∠GMN=∠ECB，
∵EH⊥DC，∠BCD=90°，
∴EH∥BC，
∴∠HEC=∠TCN，
∴∠HEC=∠GMN，
∵在△EHC和△MGN中
，
∴△EHC≌△MGN（ASA），
∴CE=MN，
在Rt△BEC中，BC=4cm，BE=4cm-3cm=1cm，由勾股定理得：CE==cm，
即MN=cm，
故答案為：cm．
點評：本題考查了勾股定理，正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△EHC≌△MGN．