Question

【題目】如圖24①，點A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，作EC⊥AD于點C，F(xiàn)B⊥AD于點B，且AE＝DF.

(1)求證：EF平分線段BC；

(2)若將△BFD沿AD方向平移得到圖②時，其他條件不變，(1)中的結(jié)論是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

(1)現(xiàn)根據(jù)CE⊥AD,BF⊥AD,可得∠ACE=∠DBF=90°,由于AB=CD,

所以AB+BC=BC+CD,即AC=DB,在Rt△ACE和Rt△DBF中,

,可證Rt△ACE≌Rt△DBF,繼而可得CE=FB,

在Rt△CEG和Rt△BFG中,,可證Rt△CEG≌Rt△BFG,

可得CG=BG,即EF平分線段BC.

(2)先根據(jù)CE⊥AD,BF⊥AD,可得∠ACE=∠DBF=90°,由于AB=CD,可得AB-BC=CD-BC,即AC=DB,在Rt△ACE和Rt△DBF中,,可證Rt△ACE≌Rt△DBF,可得CE=FB,

在Rt△CEG和Rt△BFG中,,可證Rt△CEG≌Rt△BFG,

可得CG=BG,即EF平分線段BC.

(1)因為CE⊥AD,BF⊥AD,

所以∠ACE=∠DBF=90°,

因為AB=CD,

所以AB+BC=BC+CD,即AC=DB,

在Rt△ACE和Rt△DBF中,

,

所以Rt△ACE≌Rt△DBF,

所以CE=FB,

在Rt△CEG和Rt△BFG中,

,

所以Rt△CEG≌Rt△BFG,

所以CG=BG,即EF平分線段BC.

(2)(1)中結(jié)論成立,理由為:

因為CE⊥AD,BF⊥AD,

所以∠ACE=∠DBF=90°,

因為AB=CD,

所以AB-BC=CD-BC,即AC=DB,

在Rt△ACE和Rt△DBF中,

,

所以Rt△ACE≌Rt△DBF,

所以CE=FB,

在Rt△CEG和Rt△BFG中,

,

所以Rt△CEG≌Rt△BFG,

所以CG=BG,即EF平分線段BC.