Question

19．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AC平分∠DAB，過點C作CD⊥AD，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：△PCF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠CAO=∠ACO，由角平分線的定義得到∠DAC=∠OAC，等量代換得到∠DAC=∠ACO，根據(jù)平行線的判定定理得到AD∥OC，由平行線的性質即可得到結論；
（2）由條件可得∠BCP=∠CAB，∠BCF=∠ACF，結合外角性質可得∠PCF=∠PFC，即可證得PC=PF．

解答 證明：（1）如圖1，連接OC，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵AD⊥PD，
∴∠DAC+∠ACD=90°．
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠PCB+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠PCB．
又∵∠DAC=∠CAO，
∴∠CAO=∠PCB．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
∴∠CAO+∠ACF=∠PCB+∠BCF，
∴∠PFC=∠PCF，
∴PC=PF，
∴△PCF是等腰三角形．

點評 此題考查了和圓有關的綜合性題目，用到的知識點有：平行線的判定和性質、切線的判定、垂徑定理、圓周角定理、以及等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，是一道不錯的中考題目．