Question

（1）如圖1，在銳角△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與CE相交于點(diǎn)P，若已知∠A=50°，∠BPC的度數(shù)為多少；
（2）如圖2，在鈍角△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，BD與EC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若已知∠A=50°，則∠BPC的度數(shù)為多少；
（3）在△ABC中，若∠A=α，請(qǐng)你探索AB、AC邊上的高線（或延長(zhǎng)線）相交所成的∠BPC的度數(shù)．（可以用含α的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABD，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根據(jù)∠ACE和∠PCD是對(duì)頂角解答即可；
（3）分∠A是銳角時(shí)△ABC是銳角三角形，鈍角三角形討論求解，∠A是直角鈍角時(shí)討論求解．

解答：解：（1）∵∠A=50°，BD是AC邊上的高，
∴∠ABD=90°-∠A=90°-50°=40°，
∵CE是AB邊上的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠BPC=∠ABD+∠BEC=40°+90°=130°；

（2）∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高線，
∴∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，
∵∠ACE=∠PCD（對(duì)頂角相等），
∴∠BPC=∠A=50°；

（3）當(dāng)∠A=α是銳角時(shí)，
①△ABC是銳角三角形時(shí)，根據(jù)（1）∠BPC=90°+（90°-∠A）=180°-α；
②△ABC是鈍角三角形時(shí)，根據(jù)（2）∠BPC=∠A=α；
當(dāng)∠A是直角時(shí)，∠BPC=90°，
當(dāng)∠A是鈍角時(shí)，∠BPC=180°-α．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的高線，（3）要注意分情況討論求解．