Question

13．有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為y，且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為-2，0，1時(shí)，相應(yīng)的輸出值分別為5，-4．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)一般式y(tǒng)=ax²+bx+c，再把三組對(duì)應(yīng)值分別代入得到關(guān)于a、b、c的方程組，然后解方程組求出a、b、c即可得到拋物線(xiàn)解析式；
（2）先把一般式配成頂點(diǎn)式得到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），再通過(guò)解方程x²-2x-3=0得到拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，-1），然后利用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，
再寫(xiě)出函數(shù)圖象在x軸上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
根據(jù)題意得$\left\{\begin{array}{l}a{（-2）^2}+b（-2）+c=5\\ a•{0^2}+b•0+c=-3\\ a+b+c=-4\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}c=-3\\ 2a-b=4\\ a+b=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\\ c=-3\end{array}\right.$，
所以所求的解析式為：y=x²-2x-3；
（2）y=x²-2x-3=（x-1）²-4，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），
當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，則拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），（3，-1），
如圖，

當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)，輸入值x的取值范圍是x＜-1或x＞3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．也考查了二次函數(shù)的圖象．