Question

已知方程2x²-

6

x+P=0的兩根是直角三角形ABC的兩銳角的正弦，則P的值是

1

2

．

Answer 1

分析：利用互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系sinA=cosB、韋達定理求得（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，然后根據(jù)正余弦三角函數(shù)值來確定m的取值范圍，并求p的值．

解答：解：∵方程2x²-

6

x+P=0的兩根為一個直角三角形ABC兩銳角A、B的正弦，
∴sinA=cosB；
∴由韋達定理得：
sinA+sinB=cosB+sinB=

6

2

，①
sinA•sinB=cosB•sinB=

p

2

，②
∴（cosB+sinB）²=cos²B+sin²B+2cosB•sinB，③
由①②③，得

3

2

=1+2×

p

2

，即p=

1

2

．
故答案是：

1

2

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系．解答本題的關(guān)鍵是知道sinA=cosB、cos²B+sin²B=1這兩個算式．另外，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．