Question

（改編）如圖，已知⊙O的弦CD垂直于直徑AB，點E在CD上，且EC=BE
（1）求證：△CEB∽△CBD；
（2）若CE=9，CB=15，求DE的長．
（3）求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)垂徑定理很容易得出△BDC是等腰三角形，而題目告訴BE=CE得△BEC是等腰三角形，且有公共角，易證相似．
（2）要求DE的長，只要求出DC的長就可以了，而DC的長可以通過（1）的結(jié)論求出，從而問題解決．
（3）求圓的直徑，只要求出半徑就可以，往往需要在圓中建立等腰三角形和直角三角形解答，就連接OD，通過解直角三角形和勾股定理求出半徑而得解．

解答：（1）證明：∵弦CD垂直于直徑AB，
∴BC=BD
∴∠C=∠D
又∵EC=BE∴∠C=∠CBE
∴∠D=∠CBE
又∵∠C=∠C
∴△CEB∽△CBD；    

（2）解：∵△CEB∽△CBD；
∴

CE

CB

=

CB

CD

∴CD=

CB2

CE

=

152

9

=25；
∴DE=CD-CE=25-9=16； 

（3）解：設(shè)弦CD垂直于直徑AB，垂足是H，圓的半徑為r，
連接OD，
所以CH=

1

2

×CD=

25

2

，
BH=

152-( 25 2 )2

=

5 11

2

，
在Rt△OHD中，OD²=OH²+DH²，則有：r2=(r-

5 11

2

)2+(

25

2

)2；
解得：r=

45 11

11

；
所以⊙O的直徑為：

90 11

11

；

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理、垂徑定理的相關(guān)知識．