Question

某房地產(chǎn)公司要在一塊矩形土地ABCD上規(guī)劃建設(shè)一個(gè)矩形的小區(qū)公園GHCK，如圖所示，為了使文物保護(hù)區(qū)△AEF不被破壞，矩形公園的頂點(diǎn)G不能在文物保護(hù)區(qū)內(nèi)，已知AB＝200 m，AD＝160 m．AE＝60 m．AF＝40 m． (1) 當(dāng)矩形小區(qū)公園的頂點(diǎn)G恰是EF的中點(diǎn)時(shí)，求公園的面積 (2) 當(dāng)C在EF上什么位置時(shí)，公園的面積最大?最大面積是多少?(精確到 0.01 m2)

Answer 1

答案：
解析：

(1)

延長(zhǎng)HG，KG分別交AD，AB于M，N．如圖所示． 　　當(dāng)G是EF中點(diǎn)時(shí)，由三角形中位線定理，得MG＝AE＝30m，GN＝AF＝20m，所以GH＝200 m－30 m＝170 m，GK＝160 m－20m＝140 m，所以．S矩形GHCK＝GH·GK＝170×140＝23800(m2) 　　答：當(dāng)G為EF中點(diǎn)時(shí)，矩形小區(qū)公園的面積為23800 m2

(2)

解：設(shè)MG＝x，則GH＝200－x，因?yàn)镸G∥AE，所以＝，即＝，所以FM＝x，所以MA＝40－x 　　所以GN＝MA＝40－x，所以GK＝160－GN＝160－(40－x)＝x＋120 　　設(shè)矩形GHCK的面積為S，則S＝GH·GK＝(200－x)(x＋120) 　　即S＝－x2＋x＋24000(0≤x≤60) 　　配方得S＝－(x－10)2＋， 　　所以當(dāng)x＝10時(shí)，S最大，此時(shí)，MG＝10，因?yàn)镋F＝＝＝，又因?yàn)镸G∥AE，所以＝ 　　即＝，所以FG＝≈12.02(m)． 　　所以當(dāng)FG＝12.02時(shí)，S最大≈24066.67(m2)． 　　答：當(dāng)G在EF上且距F12.02 m時(shí)．矩形小區(qū)公園的面積最大，最大面積為24066.67 m2． 　　解題指導(dǎo)：因?yàn)榫匦蜧HCK的面積等于GH·GK，且GH∥AB，GK∥AD，而AB＝200 m，AD＝160 m．AF＝40 m，所以，只需延長(zhǎng)HG，KG分別交AD，AB于M，N，就可將相關(guān)條件集中到△AEF中，然后利用平行線分線段成比例定理即可求解．