Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，且AE=

1

m

AB，DF=

1

n

DC，DE與AF相交于點(diǎn)G，GH⊥AB，垂足為H．試用m、n的代數(shù)式表示

AH

AB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長HG交DC于點(diǎn)M，作FN∥HG交AB于點(diǎn)N，由△GAE∽△GFM，得出

DF

AE

=

DG

EG

，由△GHE∽△GHD，得出

DG

EG

=

MG

HG

，易得

DF

AE

=

MG

HG

，運(yùn)用比例線段的性質(zhì)得到

DF+AE

AE

=

MG+HG

HG

，即可得到

HG

NF

=

n

m+n

，根據(jù)

AH

AN

=

HG

NF

即可得出

AH

AB

=

1

m+n

．

解答：解：如圖，延長HG交DC于點(diǎn)M，作FN∥HG交AB于點(diǎn)N，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴△GAE∽△GFM，
∴

DF

AE

=

DG

EG

，
∵GH⊥AB，
∴△GHE∽△GHD，
∴

DG

EG

=

MG

HG

，
∴

DF

AE

=

MG

HG

，
∴

DF+AE

AE

=

MG+HG

HG

，即

1 n DC+ 1 m AB

1 m AB

=

BC

HG

，
∵AB=DC=BC=HM，
∴

m+n

n

=

NF

HG

，
∴

HG

NF

=

n

m+n

，
∵FN∥HG，
∴

AH

AN

=

HG

NF

，
∵AN=DF=

1

n

DC=

1

n

AB，
∴

AH

1 n AB

=

n

m+n

，
∴

AH

AB

=

1

m+n

．

點(diǎn)評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理作出輔助線，運(yùn)用三角形相似找出線段之間的關(guān)系．