Question

23、已知：如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上．
（1）如果△PCD是等邊三角形，當(dāng)∠APB=

120°

時(shí)，△ACP∽△PDB；
（2）如果△PCD是等腰直角三角形，且PC=PD，當(dāng)∠APB=

135°

時(shí)，△ACP∽△PDB；
（3）如果△PCD是等腰三角形，其中PC=PD，∠PCD=30°，試猜想當(dāng)∠APB等于多少度時(shí)，△ACP∽△PDB．請(qǐng)證明你在（3）中的猜想．

Answer 1

分析：利用相似三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，即可得出答案．

解答：解：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD=60°．
又∵∠PCD為△PCA的一個(gè)外角，
∴∠PCD=∠CPA+∠CAP．
若△ACP∽△PDB，那么∠DPB=∠CAP，
即∠DPB+∠CPA=∠PCD=60°，
又∵△PCD為等邊三角形，
∴∠CPD=60°．
∴∠APB=120°．

（2）當(dāng)△PCD為直角三角形且∠CPD=90°時(shí)，∠PCD=45°，
根據(jù)（1）結(jié)果可知∠APB=∠PCD+90°=135°．

（3）由以上兩題可猜想規(guī)律為∠APB=∠PCD+∠CPD．
若△PCD為等腰三角形，且∠PCD=30°，那么∠CPD=120°，
∴∠APB=30°+120°=150°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，本題關(guān)鍵為找到角之間的關(guān)系規(guī)律．