Question

（2013•杭州一模）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長(zhǎng)為2

3

的等邊△ABC隨著頂點(diǎn)A在拋物線y=x2-2

3

x上運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終有BC∥x軸．
（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C是否在該拋物線上？
（2）△ABC在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有可能被x軸分成兩部分，當(dāng)上下兩部分的面積之比為1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8）時(shí)，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）△ABC在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)頂點(diǎn)B落在坐標(biāo)軸上時(shí)，直接寫出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與y軸交于點(diǎn)D，如圖所示．由等邊三角形的性質(zhì)可以求出AD的值，從而求出C的坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)，由條件表示出AD的值，再由三角函數(shù)求出AD的值，從而建立等量關(guān)系就可以求出A的坐標(biāo)．
（3）B點(diǎn)在坐標(biāo)軸上有兩種情況如圖，當(dāng)B點(diǎn)在x軸上時(shí)，則A的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線的解析式求出A的橫坐標(biāo)就可以求出C的坐標(biāo)；當(dāng)B點(diǎn)y軸上時(shí)，可以求出A點(diǎn)的橫坐標(biāo)

3

，代入拋物線的解析式可以求出A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)BC與
y軸交于點(diǎn)D，如圖所示．
∵BC∥x軸，BC=AC=2

3

，
∴CD=

3

，AD=3．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(

3

 ， -3)． 

∵當(dāng)x=

3

時(shí)，y=(

3

)2-2

3

×

3

=-3．
∴當(dāng)頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至與原點(diǎn)重合時(shí)，頂點(diǎn)C在拋物線上．

（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-2

3

x）．
∵BC∥x軸，
∴x軸上部分的三角形∽△ABC．
∵S_上部分：S_下部分=1：8，
∴S_上部分：S_△ABC=1：9，
∴AD=3(x2-2

3

x)．
∵等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2

3

，
∴AD=AC•sin60°=3．
∴3(x2-2

3

x)=3．
∴x2-2

3

x-1=0．
解方程，得 x=

3

±2．
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(

3

+2 ， 1)或(

3

-2 ， 1)．


（3）當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸時(shí)，則A點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，
∴3=x2-2

3

x，
∴x=

3

-

6

或

3

+

6

．
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2

3

-

6

，0）、（2

3

+

6

，0）、
當(dāng)頂點(diǎn)B落在y軸時(shí)，則A點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3

，
∴y=x2-2

3

x=-3，
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2

3

，-6），
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2

3

-

6

 ， 0)、(2

3

+

6

 ， 0)、(2

3

 ， -6)．　

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，等邊三角形的性質(zhì)．相似三角形的判定及性質(zhì)．